2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r


1 Egymás ít testek 7 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock é...
Author:  Csongor Molnár

0 downloads 1 Views 1MB Size

Recommend Documents


2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle r
1 Egymás ít testek 7 Egy sugú göm köé ít kock éle, z sugú göme ít kock é...

ELSŐ KOCKA SZÉLSŐ KOCKA
1 ELSŐ KOCKA SZÉLSŐ KOCKA A papírcsík-módszer a rajzolásban Vetületek hasznosítása a szerkezeti ...

R 1200 RT PRODUCTINFORMATIE
1 R 1200 RT PRODUCTINFORMATIE. BMW Motorrad 2016 bmw-motorrad.be The Ultimate Riding Machine2 OVERZICHT. Reizen is beleven. De hele reis, niet alleen ...

Handleiding R 1200 RT
1 Handleiding R 1200 RT BMW Motorrad The Ultimate Riding Machine2 Motorfiets-/dealergegevens Motorfietsgegevens Dealergegevens Model Contactpersoon in...

Handleiding R 1200 RT
1 Handleiding R 1200 RT BMW Motorrad Freude am Fahren2 Motorfiets-/dealergegevens Motorfietsgegevens Dealergegevens Model Contactpersoon in de werkpla...

BMW Motorrad Tour. BMW maakt rijden geweldig R 1200 RT R 1200 RT
1 BMW Motorrad Tour R 1200 RT BMW maakt rijden geweldig R 1200 RT PRIJZEN, KLEUREN EN UITRUSTING JANUARI 20122 STANDAARDUITRUSTING R 1200 RT Bestelnum...

BMW Motorrad Tour. BMW maakt rijden geweldig R 1200 RT R 1200 RT
1 BMW Motorrad Tour R 1200 RT BMW maakt rijden geweldig R 1200 RT PRIJZEN, KLEUREN EN UITRUSTING JANUARI 20112 STANDAARDUITRUSTING R 1200 RT Bestelnum...

BMW R 1200 RT PRODUCTINFORMATIE. BMW Motorrad
1 BMW R 1200 RT PRODUCTINFORMATIE. BMW Motorrad2 OVERZICHT. Reizen is beleven. De hele reis, niet alleen het deel na aankomst. Volg je intuïtie e...

,,,, r',r lrilclerde liggingvan. rt,r,rr de rivier uitge- \i.rr r,rí rle. ,.lr lrij op een zomerse. )l (le zon bijna in het
1 Lggng Gezcht op Dodecht Een gale n hetwate noemde de van de wedshed weng mee kwam de kwa tet níet ten Engelse ezge Moyson n 593 ove. goede ma...

Handleiding R 1200 RT. BMW Motorrad
1 Handleiding R 1200 RT BMW Motorrad2 93 Welkom bij BMW Wij zijn blij dat u voor een motorfiets van BMW heeft gekozen en begroeten u in de kring van B...



327

Egymásba írt testek

2229. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle

2 3 3

r.

J N3 8 b9 - 3 l K2 3 O V 2 - V1 = (2r) - K rO = r 3. 9 K 3 O L P 2 3 r. 2230. Egy r sugarú gömb köré írt kocka éle 2r, az r sugarú gömbbe írt kocka éle 3 2 J N K2 3 O 2 A2 - A1 = 6 (2r) - 6 K r O = 16r 2 . K 3 O L P 2231. Legyen a külsô kocka éle a, a belsô kocka éle b, a gömb sugara R. Tekintsük a négy él felezôpontjára illeszkedô síkmetszetet és az átlós síkmetszetet. A 2228/I. ábra és a 2228/II. 2 3 R . A 2229. feladat alapján a két kocka térfoábra jelöléseit használjuk: a = 2R és b = 3 3

8 b9 - 3 l gatának különbsége: V = V2 - V1 =

3V b9 + 3 l a=3

3V b9 + 3 l

3

; b=

9

R3 & R =

9V 3

8 b9 - 3 l

=

3V b9 + 3 l

1 2

3

26

;

b3 3 + 1l V

=3

. 26 3 26 26 2232. Legyen a gömb sugara R, a beírt kocka éle b, a körülírt kocka éle k. Tekintsük az átlós metszetet, ami b és b 2 oldalú, 2R átlójú téglalap, valamint a négy él felezôpontjára illeszkedô síkmetszetet, ami k = 2R oldalú négyzet. A beírt kocka testátlója az adott gömb egyik átmérôje: 2R 4R 2 = 8R 2 . A körülírt kocka éle egyenlô az adott gömb & Abeírt kocka = 6 $ 2R = b 3 & b = 3 3 átmérôjével: 2R = k & Akörülírt kocka = 6 $ 4R2 = 24R2. A feltétel szerint Akörülírt kocka - Abeírt kocka = = F & 16R2 = F & R =

3

F

& b=

3F

és k =

F

. 4 6 2 2233. Legyen a kocka éle a, a beírt gömb sugara r, a körülírt gömb sugara R. A beírt gömb a sugara a kocka élének fele: r = . A körülírt gömb sugara a kocka testátlójának fele: 2 a 3 R= . A feltétel szerint: R - r = d & a = b 3 + 1l d . 2 2234/I. A kocka felszíne: A = 6 $ a2 = 12 b2 + 3 l d 2 . A kocka térfogata: V = a3 = 2 b3 3 + 5l d 3 .

2234. Legyen a félgömbbe írt kocka éle a. Az átlós metszetet tekintve a félgömb sugara az EAO derékszögû háromJ N2 Ka 2 O 2 = r2 & szög átfogója. Pitagorasz-tétel szerint: a + K K 2 OO L P

II

328

Összetett térgeometriai alakzatok

2234/II.

&a=r

II

2 3

=

r 6 3

. A beírt kocka felszíne: A = 6a2 = 6 $

r2 $ 6

=

9

r3 $ 6 $ 6

2 6 3 r . = 9 27 2235. 2234/I. és 2234/II. ábra jelöléseivel: A félgömb sugara az ábrából kiemelt derékszögû háromszög átfogója. Pitagorasz-tétel a a2 3 2 & r= a &a= r . A kocka fenti háromszögre: r 2 = a2 + 2 2 3 = 4r 2 . A beírt kocka térfogata: V = a3 =

térfogata: V = a3 =

2

2

3

3

r3 & r =

3 2

$3 V .

2236. A téglatest élei: a = x, b = 2x, c = 3x. A téglatest testátlója a köré írt gömb átmérôje: 4r2 = a2 + b2 + c2 = x2 + 4x2 + 9x2 & x = r $ c=

3 14 7

2 7

=r $

14 7

. A téglatest élei: a =

14 7

r , b=

2 14 7

r,

r.

2237. A téglatest élei: a, b, c. Az oldallapok területei: t1 = ab, t2 = bc, t3 = ac. A feltételek szerint: bc = 2ab és ac = 3ab & c = 2a = 3b & a = rôje: (2r)2 = a2 + b2 + c2 & 4r 2 =

9 4

3 2

b . A téglatest testátlója a köré írt gömb átmé-

b2 + b2 + 9b2 & 4r 2 =

49 4

b2 & b =

4 7

r; a =

2238. Legyen a négyzetes oszlop alapéle a, oldaléle b. s = 8a + 4b & b =

6 7

r; c =

s - 8a 4

zetes oszlop testátlója a köré írt gömb átmérôje: 4r2 = a2 + a2 + b2 = 2a2 +

12 7

r.

. A négy-

(s - 8a)2

&

16 & 96a2 - 16as + s2 - 64r2 = 0. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = 64 $ (384r2 - 2s2). 1. eset: nincs megoldás, ha 384r2 - 2s2 < 0, azaz 8 $ 3 $ r < s . s 2. eset: egy megoldás van, ha s = 8 $ 3 r , ekkor a = b = , a négyzetes oszlop egy kocka. 12 3. eset: két megoldás lehet, ha s < 8 $ 3 $ r . Ekkor a1, 2 = =

2s ! 384r 2 - 2s 2

és b1, 2 =

s " 384r 2 - 2s 2

16s ! 8 $ 384r 2 - 2s 2 192

=

. 12 24 2239. Legyenek a téglatest egy csúcsba futó élei a, b és c. A feltétel szerint 4a + 4b + 4c = s. A téglatest testátlója a köré írt gömb átmérôje: 4r2 = a2 + b2 + c2. 4r2 = (a + b + c)2 J s N2 J s N2 - 2(ab + bc + ac) = KK OO - 2(ab + bc + ac) & 2(ab + bc + ac) = KK OO - 4r 2 . A téglatest felszí4 4 L P L P 2 2 s2 s 64 r - 4r 2 = . Nincs ilyen téglatest, ha s # 8r. ne: A = 2ab + 2bc + 2ac = 16 16

329

Egymásba írt testek

2240. Legyenek a téglatest egy csúcsba futó élei a, b és c; a köré írt gömb sugara pedig R. s2

= (a + b + c)2 = 16 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + F. A gömb átmérôje a téglatest testátlója: (2R)2 = A feltétel szerint 4a + 4b + 4c = 4(a + b + c) = s és 2ab + 2bc + 2ac = F.

= a2 + b2 + c2. A fentieket egybevetve (2R)2 =

s2 16

-F&R=

s 2 - 16F 8

. Nincs ilyen tégla-

test, ha s # 4 F . 2241. Az 1837. feladatban, valamint az 1838. feladatban bizonyítottuk: a 6 ; az al élû szabályos tetraéderbe írt Az a élû szabályos tetraéder köré írható gömb sugara 4 al 6 gömb sugara . A fentieket felhasználva: az R sugarú gömb köré írt szabályos tetraéder éle 12 12R 4R 1 al= = al . Bármely két szabá. Az R sugarú gömbbe írt szabályos tetraéder éle a = 3 6 6 lyos tetraéder hasonló, a térfogatarány kiszámítható a V : Vl = (a : al)3 arány alapján. V : Vl = J1 N3 K = K al: alOO = (1: 3)3 . Egy gömbbe és a gömb köré írt szabályos tetraéderek térfogatának 3 L P aránya 1 : 27.

2242. Legyen a gömb sugara R, az oktaéder éle a, a tetraéder éle b. A szabályos oktaéder két átellenes csúcsának távolsága a köré írt gömb átmérôje. Tekintsük az oktaéder négy oldalélére illeszkedô síkmetszetét, ami négyzet: (2R)2 = 2a2 & a = R 2 . Az oktaéder térfogata két egybevágó szabályos négyoldalú gúla térfogatának összege: V = 2 $

a2 R 3

=

4 3

A b élû szabályos tetraéder köré írt gömb sugara az 1837. feladat alapján: R =

&b=

2 6 3

3V

R3 & R = 3

R a tetraéder éle . A b élû szabályos tetraéder magassága 3

b 6 3

4

6 b 4

.

&

, térfogata:

J N 8 3 3V 2 3 K2 6 O 8 3 3 $K RO = R & Vt = $ = V. 27 27 4 9 K 3 O L P 2243. Felhasználjuk az 1837. feladat és az 1838. feladat eredményeit: az R sugarú gömbbe írt 4 R . Az a élû szabályos tetraéderbe írt gömb sugara szabályos tetraéder éle a = 6 1 b2 3 b 6 2 3 2 Vt = $ $ = b = 3 4 3 12 12

r=

6 12

a=

1 3

R . Bármely két gömb hasonló, ezért: AR : Ar = (R : r)2 = 9 : 1.

2244. Legyen az r sugarú gömbbe írt kocka éle a, ebbe a kockába írt gömb sugara u, a u sugarú gömbbe írt szabályos tetraéder éle pedig b. Az r sugarú gömbbe írt kocka testátlója a gömb a r . átmérôje. & 2r = a 3 . Az a élû kockába írt gömb sugara a kocka élének fele. & u = = 2 3

II

330

Összetett térgeometriai alakzatok A u sugarú gömbbe írt szabályos tetraéder éle (l. 1837. feladat) 4u 4r b= = . A b élû szabályos tetraéder felszíne és térfo6 3 2

2246.

II

2 3 8 3 r 2 és V = b &V = r . 9 12 81 2245. Legyen az a élû kocka köré írt gömb sugara r, e köré a gömb köré írt szabályos tetraéder éle b, a tetraéder köré írt gömb sugara R, végül az R sugarú gömb köré írt szabályos oktaéder éle c. Az r sugarú gömbbe írt kocka testátlója a gömb átmérôje. & 2r = a 3 . Az a élû kocka köré írt gömb sugara

gata: A = 3 $ b2 & A =

8 3

feleakkora, mint a kocka testátlója. & r = gömb köré írt szabályos tetraéder éle (l. 1838. feladat): b =

12

3 2

a. Az r sugarú

r . A b élû szabályos tetraéder

6 köré írt gömb sugara (l. 1837. feladat): R =

6

b . Az R sugarú gömb köré írt szabályos 4 oktaéder éle (l. 1917. feladat): c = 6 R . A c élû szabályos oktaéder térfogata (l. 2242. feladat): 2

3

c3 .

&V=

243

a3 . 2 2246. Felhasználjuk az 1691. feladat, az 1695. feladat és az 1692. feladat eredményeit. Az ábra jelöléseivel: I; J; K; L; M és N élfelezô pontok egy síkban vannak. Síkjuk merôlegesen felezi a testátlót; IJKLMN szabályos hatszög; GI = GJ = … = GN = AI = AJ = … = AN. Az IJKLMNG a 3 test olyan szabályos hatszög alapú szabályos gúla, aminek a magassága GO = , alapéle 2 a 2 a 5 3a IJ = , oldaléle GI = és oldallapjainak magassága . A keresett gömb, amely 2 2 2 2 érinti a kocka három lapját és a metszô síkot, éppen a szabályos hatszög alapú gúlába beírható (u sugarú) gömb, hiszen a gúla alaplapját és három oldallapját érinti. Agula $ u 3V 1 1 3 & u = gula . Vgula = $ Ta $ m = $ 6 $ TIJO $ GO = a3 . Agula = Ta + 6TIJG= Vgúla = 3 Agula 3 3 8 V=

2247/I.

=

3 3 +9

a2 . & u =

3- 3

a. 4 2247. Legyen a gúla alapéle a, magassága m, köré írt gömbjének sugara R, beírt gömbjének sugara r, az oldallap és az alaplap hajlásszöge f. Tekintsük a gúlának az alapél felezô2m = tg f. merôleges síkjával vett metszetét (2247/II. ábra). a Pitagorasz-tétel az MTU derékszögû háromszögben: J a N2 MU 2 = m2 + KK OO . MOE3 + MUT3, mert szögeik páronként 2 L P 4

331

Egymásba írt testek

2247/II.

2247/III.

II

egyenlôk.

&

m- r r

=

MU a

m2 + =

a

a2 4

& r=

ma

. Tekintsük az oldalélt tartal-

2

4m + a2 + a

2 2 mazó tengelymetszetet (2247/III. ábra). Pitagorasz-tétel a KTC derékszögû háromszögben: J N2 a 2 a2 m a2 K O 2 KT 2 = R 2 - K m = R + KT & m R = R & R = + és . A feladat feltételei 2 2 4m K 2 OO L P m2 10 -1 2 2 2m 3ma m2 m a + = & a2 = tg f = x = 4 2 + 1 . Ebbôl szerint: R = 3r & a 2 4m m a 4m2 + a2 + a 2 2 +1 a (ahol x > 0, mert 0 < f < 90, hiszen két sík hajlásszöge) jelölést felhasználva:

5x 2 - 2 2

x +2

=

x2 + 1

& 0 = x 6 - 20x 4 + 28x 2 = x 2` x 4 - 20x 2 + 28j . Az egyenlet pozitív megoldá-

sai: x1 = 10 + 6 2 = tg f1 és x2 = 10 - 6 2 = tg f 2 & f1 . 76,91 , illetve f 2 . 50,91 .

2248. Felhasználjuk, hogy az R sugarú gömbbe írt egyenlô oldalú henger átmérôje: a =

2R

;

2 az R sugarú gömbbe írt egyenlô oldalú kúp alkotója: b = 3 R . J a N2 J aN J b N2 JbN 9r 2 2 2 K O K O R . a) Ahenger= 2 K O r + 2 K O ra = 3rR . Agömb = 4rR . Akup = KK OO r + KK OO rb = 2 2 2 2 4 L P L P L P L P 9r 2 Ahenger= 3rR 2 = 4rR 2 $ R = Agqmb $ Akup & A henger felszíne mértani közepe a gömb 4 2 J N J a N2 r 4r 3 1 JbN Kb 3O 3 K O K O R . V gqmb = R . V kup = $ K O r $ K = és a kúp felszínének. b) V henger= K O ra = 2 3 3 2 K 2 OO 2 L P L P L P

332

=

II

3r 24

Összetett térgeometriai alakzatok

b3 =

3r 8

R 3 . V henger=

r

4r

R3 =

3

R3 $

3r 8

R 3 = V gqmb $ V kup & A henger térfogata

2 mértani közepe a gömb és a kúp térfogatának. 2249. Felhasználjuk, hogy az R sugarú gömb köré írt egyenlô oldalú henger átmérôje: a = 2R; az R sugarú gömb köré írt egyenlô oldalú kúp alkotója: b = 2 $ 3R . J a N2 J aN J b N2 JbN Akup = KK OO r + KK OO rb = 9rR 2 . a) Ahenger = 2 KK OO r + 2 KK OO ra = 6rR 2 . Agömb = 4rR2. 2 2 2 2 L P L P L P L P 2 2 2 Ahenger = 6rR = 4rR $ 9rR = Agqmb $ Akup & A henger felszíne mértani közepe a gömb és a kúp felszínének. 2 J a N2 4r 3 1 JbN b 3 3 K O K O R . V kup = $ K O r $ = 3rR 3 . V henger = 2rR 3 = b) V henger = K O ra = 2rR . V gqmb = 2 3 3 2 2 L P L P 4r 3 3 = R $ 3rR = V gqmb $ V kup & A henger térfogata mértani közepe a gömb és a kúp térfo3 gatának. 2250. Legyen a metszô sík d távolságra az O középponttól. Legyen a gömb sugara R, ekkor a henger átmérôje 2R. Tekintsük a henger egyik tengelymetszetét. OT = TB = R, mert ABO3 egyenlô szárú derékszögû háromszög. OUP3 + OTB3 & OU = UP = d, azaz a kúp síkmetszet körének sugara d. Pitagorasz-tétel az OUQ derékszögû háromszögben: UQ2 + d2 = R2 & A gömb síkmetszet körének sugara

R 2 - d 2 . A henger síkmetszet körének sugara R. A síkmetszetek 2

területe: Tkúp = d2r, Tgömb = c R 2 - d 2 m r = ` R 2 - d 2j r , Thenger = R2r. Tehát fennáll a Tkúp + + Tgömb = Thenger egyenlôség. 2251. A gömb köré írt poliéder minden lapjára olyan gúlát állítunk, amelynek az alaplappal szemközti csúcsa a gömb középpontja. Ezek a gúlák egyszeresen és hézagmentesen kitöltik a poliédert, így térfogatösszegük egyenlô a poliéder térfogatával. Legyen a gúlák alapterülete ti , 1 1 1 1 1 magassága r. V polieder = t1 r + t2 r + f + t n r = r $ _ t1 + t2 + f + t ni = r $ Apolieder , hiszen 3 3 3 3 3

2250.

333

Egymásba írt testek

2252/I.

2252/II.

2252/III.

II

a gúlák alaplapjainak területösszege éppen a poliéder felszíne. Vpoliéder = szín és a térfogat aránya adott r sugarú gömb esetén állandó:

Apolieder V polieder

1

3 3 = . r

r $ Apoliéder & A fel-

2252. Adott R sugarú gömb köré egyféle egyenes körhenger írható: Ahenger = 2R2r + 2Rr $ 2R = = 6R2r. Vhenger = R2r $ 2R = 2R3r. Ahenger : V henger = 6R2r : 2R3r = 3 : R . Adott R sugarú gömb MO MU = & köré írt egyenes körkúpok esetén: MOE3 ~ MUT3, mert szögeik egyenlôk & OE TU 1 MT - R MU m- R a a+r 1 & & V kup = r 2 r $ m . = = + = . Akúp = r2r + rra. 3 R r R r mr R J1 N J1 N Akúp : Vkúp = (r2r + rra) : KK r 2 rmOO = (r + a) : KK rmOO = 3 : R . Adott R sugarú gömb köré írt 3 3 L P L P egyenes csonkakúpok esetén: a csonkakúp alkotója a = r1 + r2 , magas2253. sága m = 2R. Acsonkakup = r 8 r12 + a _ r1 + r2i + r22 B = 2r ` r12 + r1 r2 + r22j . 1 2rR 2 V csonkakup = rm ` r12 + r1 r2 + r22j = ` r1 + r1 r2 + r22j . 3 3 2r ` r12 + r1 r2 + r22j Acsonkakup = = 3 : R. V csonkakup 2rR 2 2 ` r1 + r1 r2 + r2 j 3 Mindegyik esetben A : V = 3 : R.

2253. a) Vt =

2

a3 = r2rh & h =

125 2

. 0,29 cm . b) 2 dm át12 $ 16 $ r mérôjû hengerben 8 dm magasságig víz van. & Belefér a gömb a vízbe, 9 9 ezért Vvíz = 12 $ r $ h = r = Vgömb & h = = 0,56. A vízszint 0,56 dm-t 16 16 emelkedik és 8,56 dm magasan fog állni.

12

2254. Egyenlô oldalú kúp: a = 2R & R = R1 =

3 3

3 3

m. Hasonlóság miatt:

(m + h). A gömb térfogata egyenlô a két kúp térfogatának

2254.

334

Összetett térgeometriai alakzatok

2255.

2256.

2257.

II

különbségével:

4

1

R12 $ (m + h) r -

3 3 = _ m + hi & h = 3 12r 3 + m3 - m .

2255.

4 3

3

r3 r=

r 3 r = R 2 rh & r 3 =

3 4

1

R 2 mr & 4r 3 =

3

R2 h & r = 3

75 4

1 3

(m + h)3 -

1 3

m3 & 12r 3 + m3 =

& 2r . 5,3 cm .

2256. Egyenlô oldalú kúp: a = 2R & m = 3 R. AKC3 + ABD3 & KC : AC = DB : DA &

& m - r = 2r & m = 3r, azaz 1

4

3 $ R = 3r & R = 3 r. A szükséges víz térfogata: V = Vk - Vg =

5

r3r = r3 r & V . 41,89 cm3 . 3 3 2257. A 2256. ábra jelöléseit használva az egyenlô oldalú kúpra: a = 2R & m = 3R. =

3

R2rm -

3R = 3r & R = 3r. AKC3 + ABD3 & KC : AC = DB : DA & m - r = 2r & m = 3r, azaz 1 2 4 3 5 3 A beleöntött víz térfogata: V = Vk - Vg = R rm - r r = r r. Hasonlóság miatt: R : m = 3 3 3 3 1 2 5 3 m1. V = R1 $ rm1 = r r & m1 = r $ 3 15 . = R1 : m1 & R1 = 3 3 3

Síkidomok forgatásával nyert testek 2259.

2258. A keletkezett test két darab m = 3

gasságú kúpból áll. V = 2Vk =

2259. m =

3

a r 4

3 2

. A = 2tp =

$ a sugarú,

a 2

ma-

3 a2 r.

$ a. A keletkezett testet megkapjuk, ha egy hen2 gerbôl kiveszünk két kúpot. 1 V = Vh - 2Vk = $ a3r & V . 6434 cm3 . 2 A = 2 $ tkp + thp = 2 3 a2r & A . 2786 cm2 .

335

Síkidomok forgatásával nyert testek

2260. Legyen a háromszög alaphoz tartozó magassága m1, a

2261.

szárhoz tartozó magassága m2 . A háromszög hegyesszögû. Az alap körül forgatva két egybevágó, közös alapkörû kúp keletkezik. Sugaruk m1, alkotójuk 25 cm, magasságuk 15 cm. A szár körül forgatva két közös alapkörû kúp adódik. Sugaruk m2, magasságuk x cm, illetve (25 - x) cm, alkotójuk 25 cm, illetve 30 cm. 1 1 1 a am1 = bm2. V1 = 2 $ m12 $ r $ = m12 $ r $ a és V2 = m22 $ rx + 3 3 3 2 1 2 1 2 1 a2 2 V1 b 5 = = . m $r& + m2 $ r(b - x) = m2 $ rb = $ 3 3 3 b 1 V2 a 6 a A1 2b2 25 = = . A1 = 2m1br és A2 = m2br + m2ar = m2(a + b)r = m1(a + b)r & b A2 a (a + b) 33 2261. A háromszög hegyesszögû & a keletkezett két kúp az alapkör síkjának két oldalán van. 1 1 1 m = b $ sin a. V = m2 $ rx + m2 $ r(c - x) = $ (b $ sin a)2 $ rc & V á 188,3 dm3 . 3 3 3 A = mar + mbr = m(a + b)r és koszinusztételbôl a-t kiszámolhatjuk: a2 = c2 + b2 - 2cb cos a & & A á 218,3 dm2 .

2262. Tekintsük a 2261. ábrát. A háromszög tompaszögû, így leghosszabb oldala körül forgatva a keletkezett két kúp az alapkör síkjának két oldalán van. Az ABC3 területe: s (s - a)( s - b)( s - c)

=

& m á 22,47 cm.

V=

1 3

m2 $ rx +

1

$ m2 $ r(c - x) =

3 & V á 32,25 dm3 . A = mbr + mar = m(a + b)r & A á 53,65 dm2 .

1 3

1 2

mc =

$ m2 $ rc &

2263. Tekintsük a 2261. ábrát. Két forgáskúp keletkezik, a közös alapkör síkjának két oldalán. c2 = a2 + b2 & c = 5,69 dm. =

1 3

1 2

ab =

1 2

c $ m & m á 2,11 dm. V =

1 3

m2 $ rx +

1 3

m2 $ r(c - x) =

$ m2 $ rc & V á 26,56 dm3 . A = mbr + mar = m(a + b)r & A á 49,78 dm2 .

2264. Két egybevágó, közös alapkörû kúp adódik. Sugaruk b, magasságuk c = b2 +

a2 4

. V=2$

1 3

b2r $

a 2

=

1 3

ab2 r és A = 2bcr = b 4b2 + a2 $ r .

2265. Három eset lehetséges: I. a, b hegyesszög & V c =

1

m2 rc , 3 c ahogy azt a 2261. ábra alapján a 2261. feladatban kiszámoltuk. II. a 1 1 1 tompaszög: 2265. ábra & V c = mc2 r (c + x) - mc2 rx = mc2 rc . 3 3 3 1 2 III. a derékszög V c = mc rc . 2t = ma $ a = mb $ b = mc $ c. & 3 1 1 1 2 & Va = ma ra = $ ma $ 2t $ r és Vb = $ mb $ 2t $ r és 3 3 3 1 Vc = $ mc $ 2t $ r & V a : V b : V c = ma : mb : mc . 3

2265.

a 2

, alkotójuk:

II

336

Összetett térgeometriai alakzatok

2266.

2267.

2268.

II

2266. m =

2 2 3

a. V = 2 $

1 3

$ m2rm = = 1

2 6

$ a3 r. A = 2tp = 2mar = 2 a2 r. a

+ m2 ra = a3 r & V . 3141,6 cm3 . 3 2 2 A = 2tkp + thp = 2mar + 2mar = 2 3 a2 r & A á 1088,3 cm2 .

2267. m =

2268. m = 1

2 a

m2 r $

a. V = Vh + 2Vcsk - 2Vk = (2m)2 ra + 2 $ 9

1 a $ $ 8(2 m)2 + m2 + 2m $ mB r 3 2

a3 r. A = thp + 2tcskp + 2tkp = 2(2m)ra + 2 $ 3mar + 2mar = 6 3 a2 r. R V 2 1 S 2 J aN 7 3 3 3 aW a r. 2269. m = a. V = 2V csk = 2 $ $ S a + KK OO + a $ W mr = 3 SS 2 2 WW 12 2 L P T X J J a N2 aN 7 2 K O K O A = 2tcskp + 2tf = 2 $ K a + O$ ar + 2 $ K O r = a r . 2 2 2 P L VP R L R V 2 2 J 3a N SJ 3a N W W 1 S 3 1 3 3 3 3 a r. 2270. V = $ S(2a)2 + KK OO + 2a $ aW$ mr - $ SKK OO + a2 + a $ aW$ mr = 3 SS 2 2 WW 3 SS 2 2 4 WW L P L P T T X X 2271. b2 = 0,5b & b1 + b3 = 0,5b. AE = EB és CF = FB & EF ; AC és 2EF = AC & ABC3 + + EBF3 és a hasonlóság aránya 2 & PB = 2QB & PQ = QB = m. AEFC forgatásából: -2 $

3

2

3

a. V = 2V k + V h = 2 $

$ m r$

2269.

2

=

2

2270.

2271.

337

Síkidomok forgatásával nyert testek

2273.

2272.

II

V1 =

1 3 1

m2rb3 + m2rb2 + 4

1 3

m2rb1 =

1 3

m2r $

2

b 2 2

+ m2r $

b 2

=

2 3

m2rb.

EBF3

forgatásából:

m2br = m2br & V1 : V 2 = 1 : 1 . 3 3 3 2272. a2 = f 2 + e2 & f = 15 cm; trombusz = 2f $ e = a $ m & m = 24 cm. A keletkezett test térfogata megegyezik egy m sugarú és a magasságú henger térfogatával: V = m2ra & V á 45,24 dm3 . V2 =

3

(2m)2br - V1 =

m2br -

A = thp + 2tkp = 2mra + 2mar = 4mar & A á 75,4 dm2 . R V 1 a 1 2 aW 3 3 S 2 2 2273. V = 2 $ S $ $(2m) + m + 2m $ m. $ $ r - m r $ W = a r. A = 2ttcskp + 2tkp = S3 2 3 2W 2 T X 2 = 2 $ (2m + m) $ ar + 2mar = 4 3 a r. t Va ma2 ra ma2 a t $ ma ma b V b a 2 2 = 2 = = = = & a = . 2274. Va = ma ra és Vb = mb rb. V = 2 t $ m m t a V a mb rb mb b b b b b b 2275. Az adatok egy konkáv deltoidot adnak meg, mert 542 + 612 = 6637 < 7569 = 872 & b 1 1 1 me= s (s - a)( s - b)( s - e) & m c 60,4 cm . V = m2 r (e + x) - m2 rx = tompaszög. 2 3 3 1 2 3 2 = m re & V . 206,3 dm . A = mbr + mar = m(a + b)r & A á 280,8 dm . 3 4 1 2 V 1 = . Ag = 4R2r és A = 2 $ Rar 2276. a = 2 R. Vg = R3r és V = 2 $ R2r $ R = R3r $ 3 3 3 Vg 2 = = 2 2 R2r &

2275.

A Ag

=

2 2 R2 r 2

4R r

=

1

.

2

2276.

338

Összetett térgeometriai alakzatok

2277.

2281.

II

2277. m = 24 cm . V = Vh + 2Vk á 48,26 cm3 . A = thp + 2tkp á 69,37 cm2 . 2278. A keletkezett test egy forgáshenger és egy forgáskúp a közös körlapjuk két oldalán. V á 142,5 dm3 . A á 152,7 dm2 .

2279. A körülírt kör sugara 2280. A beírt kör sugara

1 3

2 3

-a a háromszög magasságának.

-a a háromszög magasságának.

2281. ABC = 120 & IAH = 30 & 2 $ IH = AI + AHI3 (m = 2) & 2IO = FI és FO = IO =

2 3

R & AI =

2 3

R;

AH =

3 2

$ 2

2 3

3 2

és

Vg

=

Vk

Vg Vk

AH =

=

4 9 3

2

32 9

.

. AI.

FOI3 , COI3 +

FI. FO = AB = 2AH & 2IH = IO & IH =

R=

3 3

R;

FI =

4 3

R;

FO =

2 3 3

1 3

R és

R.

J N 1 K2 3 O 2 8 3 1 1 3 $K RO $ r $ R = R r V AIH = V FOI = R r; és 3 3 K 3 3 27 8 27 O L P J N 2 3 4 O 12 + 8 3 2 1 K2 3 AFOI = FO $ (FO + FI) $ r = R$K R + RO$ r = R r ; A AIH = AFOI = 3 3 O 9 4 K 3 L P 3+2 3 2 = R r. 9 V FOI =

1

FO2 $ r $ IO =

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.