BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real


1 BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fug...
Author:  Leony Johan

1 downloads 43 Views 176KB Size

Recommend Documents


No documents


BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS

Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

5.1 Barisan Barisan merupakan sebuah fungsi dengan domain berupa himpunan bilangan asli N. Sebuah barisan kompleks dapat dipandang sebagai suatu daftar bilangan bilangan yang ditulis dalam suatu urutan tertentu z1, z2 ,..., zn ,... , dimana bilangan zn disebut suku ke-n. Barisan biasa dinotasikan dengan {z1, z2 ,...} atau { zn } . Contoh 1:

ni  ni  .   ; zn  n 1  n 1

Konvergensi Barisan Definisi : Barisan { zn } dikatakan mempunyai limit A, ditulis lim zn  A jika n

untuk setiap   0 terdapat bilangan bulat positif N sedemikian sehingga zn  A   apabila n  N

Jika lim zn ada, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika tidak, maka n

dikatakan divergen. Jika barisan kompleks { zn } dengan zn  xn  ivn konvergen ke suatu bilangan kompleks A, maka dua barisan real { xn } dan { yn } masing-masing konvergen ke Re A dan Im A dan sebaliknya. Sifat : Jika {z n } dan {wn } barisan yang konvergen, maka (i). lim ( zn  wn )  lim zn  lim wn . n

n

n

52

(ii). lim ( zn wn )  lim zn . lim wn . n

n

n

lim zn zn n  (iii). lim  , asal lim wn  0 . n  wn n lim wn n 

Sifat : Jika lim zn ada, maka limitnya tunggal. n

Soal : 1. Apa yang dimaksud dengan barisan, barisan konvergen, barisan divergen? Berikan contoh. 2. Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen tentukan limitnya, a. zn 

ni 3n  i

b. an 

i  c. n   n 

1 (1  i )

n

Deret Misalkan {z n } adalah barisan bilangan kompleks. Suatu deret tak hingga (untuk 

selanjutnya disebut deret), dinotasikan dengan

 zn . Didefinisikan barisan { S n } ,

n 1 n

dengan S n  z1  z2  ...  zn   zk . Selanjutnya S n disebut jumlah parsial dari k 1

deret tersebut.

Definisi: 

Deret

 zn dikatakan

n 1

konvergen ke s , jika barisan jumlah parsial { S n }

konvergen ke s , yaitu lim S n  s . Jika n 



{ S n } divergen maka deret

 zn

n 1

dikatakan divergen.

53



Teorema 1 : Jika

 zn

n 1

konvergen maka lim zn  0 . n

Bukti 

 zn

Misalkan

konvergen ke s, maka

n 1

lim S n  s . Perhatikan bahwa

n 

zn  Sn  Sn 1 sehingga lim zn  lim Sn  Sn1  lim Sn  lim Sn1  s  s  0. n

n

n

n

Konvers teorema di atas tidak berlaku, jika lim zn  0 , tidak dapat disimpulkan n



bahwa

 zn

konvergen.

n 1

i  0 tetapi deret n n

Contoh : lim



divergen.

n 1 

Akan ditunjukkan bahwa deret

i

n i

n

divergen. Perhatikan bahwa

n 1

i S2  i  , 2 i i i i i i 2i S4  i     i     i  2 3 4 2 4 4 2 i i i i i i i i i i i i i i 3i S8  i         i         i  2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 8 8 8 8 2 i i i i i i i i i i i i i i i 4i S16  i      ...   ...   i          ...  i 2 3 4 5 9 16 2 4 4 8 8 8 8 16 16 2 Dengan cara sama secara umum diperoleh S1  i,

S2 n  i 

ni . 2

Karena S 2 n   jika n   , hal ini berarti bahwa { S n } divergen.

Uji divergensi:

54

Jika lim zn  0 atau lim zn tidak ada maka n

n



 zn

divergen.

n 1

Contoh: 

Tunjukkan bahwa

n2  i

 3n 2  5i

divergen

n 1

Penyelesaian. Perhatikan bahwa lim zn  lim n  

Jadi menurut uji divergensi deret

n2  i

n  3n

n2  i

 3n 2  5i

2

 5i

 lim

1  ni

n  3 

5i n



1  0. 3

divergen.

n 1

Teorema 2: 

Jika

 zn



dan

n 1

 wn

n 1



 ( zn  wn ) , dan

n 1

(i).



konvergen, maka

 kzn

(k bilangan kompleks),

n 1



 zn  wn

juga konvergen dan berlaku :

n 1





n 1

n 1

 kzn  k  zn .

(ii).

(iii).







n 1

n 1

n 1







n 1

n 1

n 1

 ( zn  wn )   zn   wn .  ( zn  wn )   zn   wn .

Soal : 1.

a. Apakah yang dimaksud dengan deret ? 

b. Jelaskan apa artinya

 zn  10  2i .

n 1

c. Apa yang dimaksud dengan deret konvergen? Deret divergen? Berikan masing-masing contohnya. 2.

Buktikan teorema 2.

55



3.

Tinjau deret

n

 n!i n 1

a. Tentukan jumlah parsial ke-1,2,3,dan 4. Perkirakan rumus untuk Sn. b. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan perkiraan jawaban (a). c. Tunjukkan bahwa deret tersebut konvergen, dan temukan jumlahnya.

5.2 Uji Konvergensi Deret

Uji Banding 

Misalkan

 zn dan

n 1



 wn

adalah deret dengan suku positif.

n 1



(i). Jika

 wn konvergen dan zn  wn , n , maka

n 1 

(ii). Jika

 wn divergen dan zn  wn , n , maka

n 1



Contoh. Tentukan apakah deret

3



2 n 15n  2n  1



 zn

juga konvergen.

n 1 

 zn

juga divergen.

n 1

konvergen aau divergen ?

Penyelesaian. Perhatikan bahwa untuk n yang besar, suku yang dominan adalah

5n 2 pada penyebut. Oleh karena itu dapat diambil deret 3

pembanding deret di atas. Kita punyai

zn = 



3 5n 2  2n  1 3

n 15n

2

=

dan

wn =

3 5n 2

2

5n  2n  1

.



3 5n 2

Selanjutnya





3

2 n 15n

sebagai

. Dalam uji banding,

perhatikan

bahwa

3  1  merupakan deret konvergen. 5 n 1n 2

56



Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa deret 

3

n 15n

2

 2n  1

konvergen.

Uji Deret Berganti Tanda 

Jika deret berganti tanda

 (1)n 1 zn  z1  z2  z3  ... ,

n 1

zn  0 memenuhi :

(i). zn 1  zn , n (ii). lim zn  0 n

maka deret tersebut konvergen.

Contoh: 

Deret

( 1) n 1  n konvergen, karena memenuhi n 1 (i). zn 1  zn , n sebab

1 1  n 1 n

1 0. n n

(ii). lim zn  lim n

Uji Rasio (i). Jika lim

n 

(ii). Jika lim

n 

zn 1  L  1, maka deret zn



 zn

konvergen

n 1

zn 1 z  L  1, atau lim n 1  , maka deret n  zn zn



 zn

n 1

divergen.

Contoh: Deret



n3

n 1

2n

 (1) n

konvergen menurut uji rasio.

57

(n  1)3 3 (n  1)3 2 n 1  n 1 2 n 1 =  n1 =    3 2 n3 2 n  n n (1) n 2

(1) n 1

Perhatikan:

=

1 2

Soal. 

1. Jika

 zn dan

n 1



 wn konvergen, tunjukkan

n 1



 zn wn

juga konvergen?

n 1

2. Tentukan apakah deret berikut konvergen 

a.

(i ) n 1

 4n 2  1



b.

n 1



d.

1  (2n)! n 1

(1  2i ) n n! n 1





c.



e.

 ni    2n 2  1  n 1

(3  i ) 2 n n 1 ( 2 n)!

 

f.



n 1 n

in 2

i

58

5.3 Deret Pangkat 

Deret pangkat

adalah deret yang berbentuk

 an z n  a0  a1z  a2 z 2  ...

n 0

dengan z adalah suatu peubah dan an adalah koefisien dari deret tersebut.

Lebih umum, deret yang berbentuk 

 an ( z  z0 )n  a0  a1( z  z0 )  a2 ( z  z0 )2  ...

n 0

Disebut deret pangkat dalam ( z  z0 ) atau deret pangkat dengan pusat z0 atau deret pangkat di sekitar z0 .

Teorema 

Untuk suatu deret pangkat

 an ( z  z0 )n

terdapat tiga kemungkinan :

n 0

(i). Deret tersebut konvergen hanya untuk z = z0 . (ii). Deret tersebut konvergen untuk semua z. (iii).Terdapat suatu bilangan positif R sedemikian sehigga deret tersebut konvergen jika z  z0  R dan divergen jika z  z0  R . Bukti Bilangan R pada kasus (iii) disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Dengan demikian kasus (i) memiliki jari-jari konvergensi R = 0, dan dan pada kasus (ii) R =  . Sedangkan z  z0  R disebut Lingkaran konvergensi deret pangkat tersebut. Jari-jari konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan uji rasio.

Contoh: 

Tentukan jari-jari dan daerah konvergensi deret



3n z n

n  0 ( n  1)

2

.

Penyelesaian

59

Misalkan an 

3n (n  1) 2

, maka deret akan konvergen jika

3n 1 an 1 3(n  1) 2 3(n  1) 2 (n  2) 2  lim  lim  lim  3  1. n  an n  n  ( n  2) 2 n  ( n  2) 2 3n lim

(n  1) 2 Jadi deret itu konvergen jika z  konvergensi deret ini adalah R 

1 1 daan divergen jika z  . Jadi jari-jari 3 3

1 . 3

Teorema 

Jika deret pangkat  an ( z  z0 ) n mempunyai jari-jari konvergensi R > 0, maka n 0

fungsi f yang didefinisikan oleh

f ( z )  a0  a1( z  z0 )  a2 ( z  z0 )2  ... 



 an ( z  z0 )n

n 0

dapat diturunkan di dalam lingkaran konvergensi z  z0  R dan 

(i) f ' ( z )   nan ( z  z0 )n 1 atau n 1

(ii)  f ( z )dz 



 an

n 0

 d  d n a ( z  z )  [an ( z  z0 )n ]  n  0  dz n 0  n 0 dz

   ( z  z0 ) n 1 atau    an ( z  z0 )n dz    an ( z  z0 )n dz . n 1 n 0 n 0 

Dengan jari-jari konvergensi pada (i) dan (ii) adalah R.

Contoh: Tentukan deret pangkat dari f ( z )  ln(1  z ) dan jari-jari konvergensinya. Penyelesaian ln(1  z )   z 

 n z 2 z3 z   ...    , 2 3 n 1 n

z  1.

60



gunakan ekspansi f ( z )  

m0

f ( m ) ( z0 ) ( z  z0 ) m dengan z0 = 0 m!

Jari-jari konvergensinya R = 1.

Soal. 1. Tentukan jari-jari dan lingkaran konvergensi deret berikut (1) n z 2 n 1 b.  n 1 ( 2 n  1)!





zn a.  n 0 n!

c.



( z  2i )n

n 1

nn





2n ( z  3) n d.  n  0 ( n  3) 

2. Misalkan deret

 bn z n

konvergen untuk z  2 . Apa yang dapat anda

n 0



katakan tentang deret

b

 n n 1 z n 1 ?, mengapa?

n 0

61

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.