BARIS DAN DERET P R O F I L. Pola dan Barisan Bilangan. Barisan Arimatika dan Barisan Geometri. Deret Aritmetika dan Deret Geometri


1 BARIS DAN DERET Pola dan Barisan Bilangan P R O F I L Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Deret Aritmetika dan Deret Geometri Sifat-sifat Deret2 ...
Author:  Surya Tedja

1 downloads 66 Views 3MB Size

Recommend Documents


No documents


BARIS DAN DERET Pola dan Barisan Bilangan Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Sifat-sifat Deret

P R O F I L

POLA DAN BARISAN BILANGAN

Pola Bilangan Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

Barisan Bilangan

1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang

Garis Lurus

Persegi Panjang

Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)

2. Pola persegi

Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2

3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi) Cara 1 Mengikuti pola berikut

Urutan1

Urutan2

CARA 2 Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

Urutan3

4. Pola Kubus

• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3

5. Pola bilangan ganjil dan genap

Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.

a. Pola bilangan ganjil • •

Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

1

3

5 +2

+2

7

9

+2

+2

b. Pola bilangan genap • •

Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua

2

4 +2

6 +2

8 +2

10 +2

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal 1 1 2

1 1 1

1

3 4

1 3

6

1 4

Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1

1

9. Pola Bilangan Fibonaci

1

1

+

2

+

3

+

8

5

+

+

...

+

Barisan Bilangan • Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Un

U1

Barisan bilangan biasanya ditulis :

Suku Pertama

U1, U2,`U3, . . . . , Un

Dengan U2

Suku ke-2

Un adalah suku ke – n

dan n = 1,2,3, . . .

Contoh : Barisan 0,2,4 berarti U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4

Un

Suku ke - n

(menambahkan 2 pada suku

sebelumnya)

1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

• Contoh: • Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . . Barisan 2, 5, 8, 11,. . .

3

3

3

U1 = 2 U2= 5 = 2 + 3 U3 = 8 = 5 +3 U4 = 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)

2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Un = f (n) Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b) U1

U2

U3

+b

U4

+b

+b

Un =? Un = bn + (U1 - b)

Contoh : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil. Barisan bilangan ganjil 1

3

+2

5

+2

Maka rumus suku ke-nnya adalah

7

+2 Un = bn + (U1 - b)

Un = ?

b=2

= Un =2n+(1-2) = 2n -1

Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap U1

U2

xr

U3

xr

U4

Un

Un = rn x U1/r

xr

Contoh : Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )

1

10

x10

1000

100

x10

x10

Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1

Un

=?

Tahapan pertama dengan r=10

=?

Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut : Un = b/2 . n (n-1) + c Dengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola b = Selisih tetap Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . ) Jawab: 3 6 10 15 21 U1 = 3=1/2 x 1 0 +3 U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5 U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7 U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9 +3 +4 +5 +6 U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11 : +1 +1 +1 : Un = ½. n(n-1) +c pola tingkat2, dengan b=1

LANJUTAN

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu Barisan: 3 5 7 9 11 Pola tingkat 1, b= 2

+2

+2

+2

+2

C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1 Jadi, suku ke-n adalah: Un = ½. n(n-1) +c Un = ½. n(n-1) + 2n + 1 Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1 Un = ½ n2 – 3/2 n +1

BARISAN ARIMATIKA DAN BARISAN GEOMETRI

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung Barisan Aretmatika

barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut : U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b Un = a + (n – 1 )b U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b Dengan n = 1, 2, 3,.. . . . Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut : U2 = U1 + b => b = U2 - U1 U3 = U2 + b => b = U3 - U2 U4 = U3 + b => b = U4 - U3 . . . Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1 Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Contoh: Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut. a. 1, 3, 5, 7,. . . . b. 4, 2, 0, -2,. . . Jawab : Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika. a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . . berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh .. U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5 b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2 karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik. U10 = U1 (10 - 1) . b U10 = 1 + 9 . 2 = 19

b. Barisan 4, 2, 0, -2, . . U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2 b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2 karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus Un = U1 (n - 1) . b U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14 Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Barisan Geometri atau Barisan Ukur barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap

Barisan Geometri

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

1. Un = r × Un-1 atau 𝑟 =

𝑈𝑛 𝑈𝑛−1

2. Un = a × rn-1 Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama

U1 = a U2 = U1 . r = ar U3 = U2 . r = ar2 U4 = U3 . r = ar3 Un = Un-1 . r = arn-1

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik. Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Contoh : a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :

b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :

Jawab: a.

Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729 b.

Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah

DERET ARITMETIKA DAN DERET GEOMETRI

Deret Aritmetika atau Deret Hitung Deret bilangan

jumlah yang ditunjuk untuk sukusuku dari suatu barisan bilangan

Bentuk umum: 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 Menyatakan deret ke-n

Contoh: 1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah 𝑆𝑛 = 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 + 1) Maka, 𝑆1 = 3 𝑆2 = 3 + 5 = 8 𝑆4 = 3 + 5 + 7 = 15

2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2𝑛−1 adalah 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛−1 Maka, 𝑆1 = 1 𝑆2 = 1 + 2 = 3 𝑆4 = 1 + 2 + 4 = 7

jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmetika

Deret aritmetika

Deret aritmetika 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 Dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 Rumus n suku pertama deret aritmetika:

𝑛 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 2 Dengan: 𝑈𝑛 = suku ke-n n = bilangan asli b = beda 𝑆𝑛 =

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑆𝑛 =

𝑛 (𝑎 + 𝑈𝑛 ) 2

Contoh: 1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret −2 + 0 + 2 + ⋯ Jawab: 𝑈1 = −2; 𝑈2 = 0 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 0 − −2 = 2 𝑛 = 10 10 𝑆10 = 2(−2) + 10 − 1 2 = 5 −4 + 18 = 70 2 2.

Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 Jawab: 𝑈1 = 20; 𝑈5 = 240; 𝑛 = 5, maka: 5 𝑆5 = 20 + 240 = 650 2

Deret Geometri atau Deret Ukur Deret geometri

Barisan geometri: 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛

Deret geometri: 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛

dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1

jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri Rumus n suku pertama deret geometri: 𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = ;𝑟 > 1 (1 − 𝑟) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 𝑟𝑛 − 1 𝑆𝑛 = ;𝑟 < 1 𝑟−1

Contoh: 1.

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + ⋯ Jawab:

6 𝑈1 = 3; 𝑈2 = 6; 𝑟 = = 2; 𝑛 = 8 3 8 3 2 −1 3(256 − 1) 𝑆8 = = = 765 2−1 1 2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, 𝑈2 = 10 dan 𝑈4 = 40. 𝑈𝑛 = 160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu. Jawab: 𝑈2 = 10 → 𝑎𝑟 = 10 𝑈4 = 40 → 𝑎𝑟 3 = 40 𝑎𝑟 𝑟 2 = 40 10𝑟 2 = 40 𝑟2 = 4 ∴ 𝑟 = ±2

Bila

Karena suku-suku positif maka 𝑟 = 2 𝑎𝑟 = 10 2𝑎 = 10 𝑎=5

maka: 𝑈𝑛 = 160 𝑎𝑟 𝑛−1 = 160 5 ∙ 2𝑛−1 = 160 2𝑛−1 = 32 2𝑛−1 = 25 𝑛−1=5 ∴𝑛=6

SIFAT-SIFAT DERET

Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini. 𝑆1 = 𝑈1 𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1 𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2 𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3 . . . 𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛 𝑆𝑛−1 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

Contoh: Dalam deret aritmatika ditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah : a. 𝑈𝑛 b. 𝑈5 c. Beda Jawab : a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 𝑆𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 1 𝑆𝑛−1 = 2 𝑛2 − 2𝑛 + 1 + 𝑛 − 1 𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1 𝑈𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1 𝑈𝑛 = 4𝑛 − 1 b. 𝑈5 = 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19 c.

𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4 𝑈4 = 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15 ∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4

Sifat Dasar Deret Aritmetika 1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret aritmatika, maka : 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1

2. Bila𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka: 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3

Contoh: Tentukan nilai dari 𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret aritmatika. Jawab: Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3 2(3x - 5) = x + 1 + 4 6x –10= x + 5 6x –x= 5 + 10 5x = 15 x=3

Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain. Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini : 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya. 𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏 Memo 𝑈7 = 𝑎 + 3𝑏 + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏 𝑈7 = 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏 7= 1+6 𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏 7=4+3 7=5+2 7=3+4 Secara umum dapat dituliskan:

𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + 𝑝 − 𝑘 𝑏

𝑈𝑝 − 𝑈𝑘 𝑏= 𝑝−𝑘

Contoh: Bila 𝑈6 = 65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah : a. b b. 𝑈12 Jawab: a. b.

𝑏=

𝑈10 −𝑈6 10−6

=

97−65 4

𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏 𝑈12 = 97 + 2 ∙ 8 𝑈12 = 97 + 16 𝑈12 = 113

atau 𝑈6 𝑈6 𝑈6 𝑈6

= 𝑈6 + 2𝑏 = 65 + 6 ∙ 8 = 65 + 48 = 113

=8

Sift Dasar Deret Geometri 1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka : 𝑈2 𝑈3 𝑈𝑛 = =⋯= =𝑟 𝑈1 𝑈2 𝑈𝑛−1

2. Bila 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka: 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3

Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri. Jawab: Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3 , diperoleh: 22

= 𝑥+2 𝑥−1 4= 𝑥+2 𝑥−1 ↔ 4 = 2+2 ∙ 2−1 ,𝑥 = 2 ↔ 4 = −3 + 2 ∙ −3 − 1 , 𝑥 = −3 Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2

Memo 4 = 4 ∙ 1 atau 4 = (−1)(−4)

Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri. Perhatikan Un = arn-1 Memo Dengan formula itu didapat: Lihat Indeks U10 = ar9 U10 = (ar2) . r7= U3 . r7 10 = 1 + 9 U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5 10 = 3 + 7

10 = 5 + 5 Secara umum di tuliskan:

𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟 𝑝−𝑘

𝑟 𝑝−𝑘 =

𝑈𝑝 𝑈𝑘

Contoh: Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah : a. r b. U2

Jawab : 𝑈 a. 𝑟 3 = 𝑈6 3

192

𝑟 3 = 24 𝑟3 = 8 𝑟 3 = 23 𝑟=2 b. 𝑈2 = 𝑈2 =

𝑈3 𝑟

24 2

𝑈2 = 12

𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑈2 =

𝑈6 𝑟4

192 24 192 𝑈2 = = 12 16 𝑈2 =

PROFIL KELOMPOK

Nama : Putri Kinanti Aprilianti (pemateri pertama) Kelas : 2 – J

Alamat : Kapetakan, Cirbon NPM : 112070184 E – mail: [email protected] Tempat/tgl lahir:Ciamis,06 April 1994 Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 1 -16 FKIP Pendidikan Matematika. UNSWAGATI Cirebon

Nama : Alang Ganda Sutisna NPM : 112070247 Kelas : 2j Alamat : ds. Cikadu, dusun manis rt/rw 01/01 kec. Nusaherang, kab. kuningan. E-mail : [email protected] Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 17 24

Nama: Leti Septiani

NPM:

Dalam tugas ini saya membuat powerpoint, skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 17 -24

112070128

Kelas 2-j

Alamat:

Desa Nusaherang, Dusun Manis, RT.01/05, Kec. Nusaherang, Kab. Kuningan

Email:

[email protected]

Nama Tempat, Tanggal Lahir Kelas Npm Menjelaskan Alamat

: Ivon Griani : Cirebon, 19 Oktober 1993 : 2-I : 112070021 : 33-43 : Jl. Sunan gunung jati, Gg. Mandiri 2, RT/RW 02/01, Blok Akad, Ds. Suranenggala kidul, Kec. Suranenggala, Kab. Cibon, Prov. Jawa Barat

Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 33 -43

DAFTAR PUSTAKA  Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.