CTB2110. Vloeistofmechanica. Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie"


1 CTB2110 Vloeistofmechanica Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie"2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Vraag...
Author:  Sylvia Jacobs

0 downloads 34 Views 5MB Size

Recommend Documents


No documents

CTB2110

Vloeistofmechanica Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie"

Vraag 1a De dichtheid varieert over de diepte. Beschouw daarom het water deel en het olie deel afzonderlijk: 1 1 Fo   gdo2  900  9.81 6 2  159kN/m 2 2 1  1  Fw    gdw   gdo  dw   1000  9.81 6  900  9.81 6 6  494kN/m 2  2 

Ftot  Fo  Fw  653kN/m Vraag 1b: De combinatie van water en olie maakt dat we Toricelli niet direct kunnen gebruiken. De olie geeft een druk op het water die gelijk is aan:

p   ogdo   w g

o d w o

Bij de opening op z=0 wordt de druk daarmee:   p  wg  o do  dw    w

we kunnen daarmee Torricelli toepassen met de aangepaste waterhoogte:

  u  2g  o do  dw   2  9.81 0.9  6  6   14, 96m/ s  w  Vraag 1c: De olie drukt op het water. Alleen de druk van de olie is daarmee relevant. We schrijven de druk van de olie daarmee al seen waterdruk, met beperkte diepte. De volumebalans geeft: dh A  Q    A 2g h dt herschikken geeft: 1 A dh   2gdt A h Integreren geeft: A 2 h 2gt A De beginconditie is: h(t  0)  dw  Dit geeft:

 o do en de eindconditie is: h(t  T )  o do . w w

 o   A 2 do  dw  o do    2g T  w  A  w T

 o  2 A  dw  o do  d  w  w o  2g  A 



T  4778s  1, 32hr vraag 1d: Het energieniveau in A ligt lager vanwege intreeverlies en bochtverlies (en een beetje wandwrijving over de buis tot aan A). Tussen A en B speelt wandwrijving een rol. Daarom dealt het energieniveau. Het piezometrisch niveau loopt parallel aan het energieniveau, vanwege de uniforme snelheidshoogte. H en h moeten bij B boven de uitstroomopening liggen.

B

A Oliepeil H h

vraag 1e: Persoon A heeft gelijk als de uitstroomopening niet in de vloeistof steekt. Dan wordt het energieniveauverschil bepaald door de uitstroomopening: hoe lager hoe groter het debiet. Persoon B heft gelijk als het de uitstroomopening in de vloeistof steekt. Dan wordt het energieverschil bepaald door het verschil in peil tussen de twee tanks. Een langere buis zorgt dan voor meer wrijving.



Vraag 2a De benedenstroomse waterstand ligt onder de kruinhoogte. De stroming over de overlaat is daarmee kritisch. Het debiet is gegeven: u  gdk

Q  bd gdk  Q  dk     b g

2/3

 0, 21m

u  gdk  1, 43m/ s Vraag 2b De energiebalans geldt voor het gedeelte bovenstrooms tot aan de kruin: H1  H 2 h1 

Q2 Q2  z  d  k k B2 2g b2 dk2 2g

Q2 Q2 h1  zk  dk  2 2  2 2 b dk 2g B h1 2g dbovenstrooms  h1  0,81m iteratie is nodig om h1 te bepalen. Echter, h1 zal zeer vergelijkbaar zijn met H1, aangezien de snelheid gering is. Een eerste schatting van h1=H1 is daarmee vrij nauwkeurig. Een keer itereren is daarmee eigenlijk al voldoende. Vraag 2c Stel de impulsbalans op (uitgaande van een bovenstroomse waterdiepte van 0,9m): FL  FR  K  0

FL 

1 Q  gBdL2  Q  8kN 2 BdL

1 Q 2 FR    gBdR  Q  2, 4kN 2 BdR K  5,6kN Vraag 2d: De bovenstroomse waterstand gaat stijgen bij een stigende benedenstroomse waterstand als de stroming op de kruin subkritisch is. Stel de impulsbalans op van de kruin (net achter de kruin) tot benedenstrooms. Ga daarmee uit van een kritische stroming op de kruin. Q 1 Q 1 2  gB dk  zk   Q   gBdR2  Q bdk 2 BdR 2

de diepte op de kruin is dk=0,2m, zie deelvraag a. Iteratie is benodigd. De kruinhoogte komt op: dR=0,74m. Als de benedenstroomse waterstand/diepte verder stijgt zal het linkerlid ook moeten toenemen. Daarmee zal de stroming niet meer kritisch zijn en zal de waterstand moeten stijgen. Vraag 2e: De benedenstroomse waterstand is gegegeven, evenals het debiet. Om het energieverlies te bepalen wordt eerst de waterstand op de kruin bepaald, met de impulsbalans: Q 1 Q 1 2  gB dk  zk   Q   gBdR2  Q bdk 2 BdR 2 De diepte op de kruin is dan: dk=0,28m. De bovenstroomse energiehoogte is gelijk aan de energiehoogte op de kruin: Q2 H k  dk  zk  2 2  0,84m b dk 2g

H R  dR 

Q2  0,80m B2 dR2 2g

H  H k  H R  0,04m

Vraag 3a De zwaartekrachtsterm of drukkrachtterm is in evenwicht met de wrijvingsterm. In niet‐eenparige stationaire stroming wordt de term als gevolg van meevoering eveneens belangrijk. Vraag 3b De bodemhelling is flauw, we kunnen daarmee uitgaan van een subkritische stroming. Tussen de stad en de monding zijn de volgende variabelen constant en uniform: Q, ib, cf , B . Daarmee kunnen we de evenwichtsdiepte en de lengteschaal bepalen: 1/3  c f Q2  de    8, 82m  i gB2  b

1 ib / cf



de  28, 4km 3ib De waterdiepte bij de stad is daarmee:  s s0   20000  0  d(s)  de  d0 exp   8,82   5  8,82  exp   6, 93m   L   28.400  Check: de waterdiepte moet kleiner zijn dan de evenwichtsdiepte, aangezien de diepte in de monding kleiner is dan de evenwichtsdiepte. Vraag 3c Het gaat om een subkritische stroming. Daarmee werken verstoringen door naar bovenstrooms. Oftewel, de verdieping moet benedenstrooms van de stad aangelegd worden. Ps: alleen een verandering in debiet bovenstrooms zou effect hebben benedenstrooms. 3d Deel de rivier op in twee delen: bovenstrooms van de stad en benedenstrooms van de stad. Q  3000m3 / s Q  3000m3 / s L

Benedenstrooms:

ib  1 /10.000 c f  0, 003



Bovenstrooms:

ib  1 /10.000 c f  0,003



B  200m

B  300m

Daarmee worden de evenwichtsdiepte en de lengteschaal: de 6, 73m de  8, 82m Benedenstrooms: L  21, 7km

d(20km)  6,84m



Bovenstrooms: L  28, 4km



d(60km)  8, 34m

Let op voor het bovenstroomse deel zijn de en L nog steeds gelijk. Voor de bepaling van het bovenstroomse deel maak je gebruik van d0  6,84m s  60km s0  20km Let bij het tekenen op: ‐ evenwichtsdiepte bovenstrooms is groter dan benedenstrooms van de stad. ‐ Waterstand ligt boven de evenwichtsdiepte in het benedenstroomse deel en onder de evenwichtsdiepte in het bovenstroomse deel. ‐ De waterdieptes bij 20km en 60km bovenstrooms zijn bijna gelijk aan de evenwichtsdieptes. Z=2m Z=0

60km 20km

Z=‐5m

Vraag 4a De schuifspanning in de as van de slang is gelijk aan nul, aangezien daar de snelheidsgradient in dwarsrichting gelijk is aan nul. Extra: de schuifspanning verloopt lineair tussen de wand en de as. De maximale waarde wordt bij de wand gevonden. Vraag 4b: De combinatie van stroomsnelheid en wandruwheid leidt tot hydraulisch gladde condities. Daarmee wordt de Darcy‐Weisbach coefficient gedefinieerd door:  2, 5  1  2 log   f  Re f  UD Re 



Bepaal eerst het Reynolds getal : Q U 2  2,1m/ s   D / 2 UD Re   2110 3



Iteratie is nodig om f te bepalen. Start daarmee met een waarde f=0.02. Dit geeft: f=0,025. Vraag 4c: Het vermogen wordt bepaald gegeven door: P   gQH

H  dz f

1, 5 2,12 L U2  1 0, 024  1,87m 0, 01 2  9,81 D 2g

P  3, 06W Vraag 4d: De kracht van het instromende water heft geen effect op het krachtmoment (arm is gelijk aan nul). De kracht van het uitstromende water is gelijk aan de kracht door meevoering: Q2 F  Qu   A 2

1 1  D A  Aslang      3, 9 10 5 m2 2 2  2 F  0, 7N De arm is 0.2m. Daarmee wordt het krachtmoment: M  F   0, 7  0,2  0,14Nm

Faculteit Civiele Techniek and Geowetenschappen Schriftelijk tentamen

CTB2110

Vloeistofmechanica Totaal aantal pagina’s

6

Datum en tijd

07-11-2017

Verantwoordelijke docent

Bram van Prooijen

pagina’s van 13:30 - 16.30

uur

Alleen het op tentamenpapier geschreven werk / antwoord wordt beoordeeld, tenzij onder ‘aanvullende informatie’ anders is aangegeven. Tentamenvragen (in te vullen door examinator) Totaal aantal vragen: 4

(waarvan 4

open vragen en 0

multiple-choice vragen)

Max. te behalen punten: 22,5 alle vragen tellen even zwaar ✔ vragen hebben verschillende weging (gewicht staat per vraag vermeld of wordt in overzicht gegeven.) Gebruik hulpmiddelen en informatiebronnen tijdens tentamen (in te vullen door examinator) Niet toegestaan: • •

Smartphone of apparaat met vergelijkbare functies. Antwoord geschreven met potlood.



Hulpmiddelen en/of informatiebronnen tenzij hieronder anders vermeld.

Toegestaan: boeken

aantekeningen

woordenboeken

dictaten

formulebladen (zie ook onder ‘Aanvullende informatie’)

✔ rekenmachines

computers

✔ Op tentamen uitgereikt formuleblad.

Aanvullende informatie

Ieder vraagstuk dient op een afzonderlijk antwoordformulier ingeleverd te worden! Bij de beoordeling van het examenwerk zal voornamelijk worden gelet op een goede systematische aanpak en een juiste toepassing van de theorie. Indien bij de uitwerkingen aannames worden gedaan, dan moeten deze duidelijk worden vermeld. Geef waar nodig een beknopt commentaar. Wanneer het antwoord op een subvraag in vervolgvragen nodig is, maar niet kan worden berekend, neem dan een plausibele waarde daarvoor aan in de beantwoording van de vervolgvragen. Getalsmatige grootheden moeten, in ieder geval in de eindantwoorden, van de juiste eenheden worden voorzien. Uiterlijke datum nakijken tentamen: 29-11-2017

(in te vullen door examinator)

(de uiterlijke nakijktermijn bedraagt 15 werkdagen)

Elk vermoeden van fraude wordt

!

Mobiel UIT

gemeld bij de Examencommissie

Vraagstuk I (caisson) Een caisson kan geschematiseerd worden tot een rechthoekige bak, met een hoogte H van 5 m, een breedte B van 11 m en een lengte L van 70 m. De massa M van het caisson bedraagt 700.000 kg. Ter vereenvoudiging mag de dikte van de caissonwand verwaarloosd worden. Zie de onderstaande figuur.

In eerste instantie ligt het caisson stil in stilstaand water. Voor de stabiliteit is het caisson gevuld met water, zodanig dat er nog 1 m van het caisson boven water uitsteekt. De luchtdruk in het caisson is gelijk aan de atmosferische druk. I.11,0

Wat is voor de gegeven situatie de waterdiepte dcais in het caisson?

I.21,0 Bereken de netto kracht per eenheid van breedte van het water op de zijwanden van het caisson. (Gebruik een waterdiepte dcais = 2, 5 m in het caisson als je Vraag I.1 niet kon beantwoorden.) Het caisson wordt met een sleepboot verplaatst naar de lokatie waar het moet worden afgezonken. De co¨effici¨ent voor de sleepkracht (cw ) is gelijk aan 1,05. I.31,0

Bereken de benodigde kracht om het caisson met een snelheid van 0,25 m/s voort te slepen.

Tijdens het slepen van het caisson ontstaat er een retourstroming (een stroming tegengesteld aan de vaarrichting van het caisson) onder het caisson. Zie de onderstaande figuur.

I.41,0 Beredeneer of het caisson door deze retourstroming hoger, lager of op gelijke hoogte in het water zal liggen vergeleken met de situatie waarin het caisson stil ligt; gebruik de vergelijking van Euler. Aangekomen op de plaats van bestemming wordt het caisson afgezonken. Hiertoe wordt een klein gat met een netto doorstroomopening µA = 50 cm2 in de bodem gemaakt waardoor het water naar binnen stroomt. Gaten aan de bovenkant van het caisson zorgen er voor dat de luchtdruk in het caisson gelijk blijft aan de atmosferische druk. I.51,5 Verklaar waarom het debiet Q door het gat stationair is gedurende de periode dat het caisson nog drijft; bereken dat debiet.

Vraagstuk II (koelwaterleiding) Een kerncentrale gebruikt water uit een meer als koelwater. De centrale ligt achter een dijk waar de aanvoerleiding voor het koelwater overheen moet. Net achter de dijk staat een pompstation om het water door de lange leiding naar de centrale te laten stromen. Een schets van de situatie is gegeven in onderstaande figuur.

II.11,5 Stel de impulsbalans en de energiebalans op voor het gebied tussen de doorgangen X en Y (zie inzet); leid hiermee de regel van Carnot af gebruikmakend van µUX = UY . Het netto doorstroomoppervlak bij het instroompunt bedraagt 70% van de leidingdoorsnede. Naast het intreeverlies treedt er ook energieverlies op bij de bochtstukken. Het netto doorstroomoppervlak in de bochten bedraagt 90% van de leidingdoorsnede. Over het leidingdeel A-B is de invloed van de wandwrijving verwaarloosbaar klein. Het ontwerpdebiet Q voor de leiding bedraagt 4 m3 /s. De leiding heeft een rond dwarsprofiel met een inwendige diameter D van 1,5 m. II.21,5 Bereken de energiehoogte in doorgang B en teken/schets het verloop van het energieniveau en het pi¨ezometrisch niveau tussen A en B. Gebruik de waterstand in het meer als referentiehoogte. Over het 500 m lange leidingdeel tussen C en D is de wandwrijving w`el relevant. Hydraulisch ruwe condities mogen aangenomen worden in de leiding, met een Darcy-Weisbach weerstandsco¨effici¨ent f van 0, 015. II.31,0

Bereken het gedissipeerde vermogen over leidingdeel C-D bij het ontwerpdebiet van 4 m3 /s.

Door de aangroei van schelpdieren wordt de binnenwand van de leiding ruwer. II.41,0 Beredeneer waarom, bij een gelijkblijvend pompvermogen, (i) het debiet door de leiding afneemt en (ii) de energiehoogte net na de pomp (doorgang C) toeneemt.

Vraagstuk III (dambreuk) Als gevolg van een orkaan is in de dam van een groot waterreservoir een bres onstaan waaruit het water via een rivierbedding een nabijgelegen vallei instroomt. In deze rivierbedding zijn twee trajecten te onderscheiden: een traject (1) met een steile bodemhelling dat direct aansluit op het reservoir, en een verderop gelegen traject (2) met een flauwe bodemhelling. Zie onderstaande schets van de situatie.

III.11,0 Leg in de context van de theorie van de verhanglijnen uit wat de fysische betekenis is van de begrippen steile - repectievelijk flauwe bodemhellling, en geef een criterium op basis waarvan dit onderscheid in de praktijk gemaakt kan worden. De bres in de dam (punt A in de figuur) vormt een vloeiende overgang tussen het reservoir en het aansluitende traject (1) van de rivierbedding, waarbij de benedenstroomse randvoorwaarden geen invloed hebben op de waterdiepte langs dit traject. Zou dit traject een flauwe bodemhelling hebben, dan zou de waterdiepte in punt A de evenwichtsdiepte aannemen. Vanwege de steile bodemhelling is in dit geval de diepte ter plaatse van A echter gelijk aan de grensdiepte. III.21,0

Verklaar waarom de waterdiepte in A gelijk is aan de grensdiepte.

Voor het doen van enkele inleidende berekeningen wordt aangenomen dat de beide trajecten een uniforme en gelijke breedte hebben waarbij we de situatie per eenheid van breedte beschouwen. Daarnaast wordt verondersteld dat de stroming stationair is met een constant waterpeil hres in het reservoir van 3,0 m ten opzichte van de bodemhoogte ter plaatse van de bres in de dam. Gegevens traject (1): bodemhelling ib,1 = 5 × 10−2 , weerstandsco¨effici¨ent cf,1 = 3 × 10−3 . III.31,0

Bereken de waterdiepte in punt A, en bereken vervolgens de evenwichtsdiepte voor traject (1).

Ergens langs traject (2) treedt een watersprong op. De invloed van eventueel benedenstrooms gelegen randvoorwaarden is ter plaatse van de watersprong niet merkbaar. Gegevens traject (2): bodemhelling ib,2 = 1 × 10−3 , weerstandsco¨effici¨ent cf,2 = 4 × 10−3 . III.41,5

Bereken de waterdiepten aan de boven- en benedenstroomse zijde van de watersprong.

III.61,5 Neem bovenstaande schets van het reservoir en de rivierbedding over en plot daarin het verloop van de grensdiepte, de evenwichtsdiepte en de waterdiepte en voorzie deze van alle in de vorige deelvragen berekende getalswaarden; benoem de verschillende typen verhanglijnen die zich voordoen, en geef per type de plaats aan van de bijbehorende randvoorwaarde en de richting waarin de verhanglijn moet worden opgelost.

Vraagstuk IV (drainagekanaal) Een drainagekanaal is via een in hoogte verstelbare schuif verbonden met een groot en diep meer. Door de doorstroomhoogte onder de schuif aan te passen kan de waterstand in het drainagekanaal geregeld worden. Het kanaal heeft een uniform, rechthoekig dwarsprofiel zodat we situatie per eenheid van breedte kunnen beschouwen. Zie onderstaande schets van de situatie.

Gedurende het droge seizoen is de afvoer q door het kanaal gelijk aan 4,0 m2 /s. De waterstand op het meer (hmeer ) bedraagt gedurende deze periode 2,0 m ten opzichte van de bodemhoogte ter plaatste van de schuif. De netto doorstroomhoogte µa onder de schuif is daarbij gelijk aan 0,75 m. IV.11,0 Bereken de bijbehorende waterdiepte d0 in het kanaal op korte afstand bovenstrooms van de schuif, neem daarbij aan dat de stroomsnelheid in het meer verwaarloosbaar klein is. In het natte seizoen neemt de afvoer q toe tot 8,0 m2 /s. Teneinde wateroverlast langs het kanaal te voorkomen mag de waterdiepte op een afstand van 2 km bovenstrooms van de schuif niet groter zijn dan 4,0 m. Overige gegevens kanaal: bodemhelling ib = 4 × 10−4 , weerstandsco¨effici¨ent cf = 3 × 10−3 . IV.21,5 Bereken de maximale waterdiepte d0,max ter plaatse van de schuif waarbij er nog net geen sprake is van wateroverlast; je mag ervan uitgaan dat de in het kanaal optredende afwijkingen van de eenparige toestand klein zijn. In het natte seizoen is het waterpeil in het meer (hmeer ) gestegen tot 3,0 m ten opzichte van de bodemhoogte bij de schuif. IV.31,5 Bereken de minimale netto doorstroomhoogte µamin onder de schuif zodanig dat er geen wateroverlast (maximale diepte van 4 m op 2 km bovenstrooms van de schuif) langs het kanaal optreedt, gebruikmakend van het resultaat van vraag IV.2 (gebruik d0,max = 4,40 m indien je het antwoord op deze vraag niet kon berekenen) . IV.41,0 Bereken voor de situatie tijdens het natte seizoen met de minimale doorstroomhoogte µamin de netto horizontale kracht KH die door het stromende water op de schuif wordt uitgeoefend. In het natte seizoen neemt tijdens zware regenbuien het debiet q tijdelijk toe en wordt de schuif uit voorzorg volledig geopend. Het waterpeil in het meer wordt niet door deze regenval be¨ınvloed. IV.51,0 Bereken het maximum debiet qmax waarvoor de waterdiepte langs het gehele kanaal hoogstens gelijk is aan de eerder gegeven maximum diepte van 4,0 m.

Vraagstuk I (Caisson) I.1 Gebruik Archimedes. De massa van de verplaatste hoeveelheid water is: m = ρw ∗(L∗B∗(H −1)) = 1000 ∗ 70 ∗ 11 ∗ 4 = 3.080.000 kg. Deze hoeveelheid moet gelijk zijn aan de massa van het cais1 ∗ m−M = son, inclusief het water in het caisson. De diepte in het caisson wordt daarmee: d = BL ρ 1 3.080.000−700.000 ∗ = 3, 09 m. 11∗70 1000 I.2 Aan de buitenkant staat, tov de bodem van het caisson, een waterdiepte van 4 m. Dit geeft een kracht Fbuiten = 12 ρgd2 = 12 10009, 8142 = 78, 5 kN. Aan de binnenkant is de waterdiepte 3,09 m, waardoor de kracht gelijk is aan Fbinnen = 12 ρgd2 = 21 10009, 813, 092 = 46, 8 kN. De netto kracht is daarmee: Fnet = Fbuiten − Fbinnen = 31.6 kN. Deze kracht is naar binnen gericht. I.3 De sleepkracht is gegeven door F = cw ρ 12 U 2 A, met A = (H − 1) ∗ B = 44 m2 , U = 0, 25 m/s, zodat resulteert: F = 1, 05 ∗ 1000 ∗ 12 0, 252 44 = 1444 N. I.4 Beschouw een doorsnede voor het caisson en een doorsnede onder het caisson en het tussenliggende balansgebied. Bij stilstaand water is er geen versnelling in horizontale richting. De pi¨ezometrische niveau’s zullen daarmee gelijk zijn. Bij een bewegend caisson zal het water versnellen in horizontale richting (x): ax > 0. Gebruikmakend van de Euler vergelijking ax = − ∂h ezometrisch niveau onder het caisson lager moet zijn ∂x betekent dit dat dat het pi¨ dan ervoor. Aangezien de druk aan de onderzijde van het caisson gelijk moet blijven (om het gewicht van het caisson te dragen), zal de plaatshoogte kleiner moeten worden om te voldoen aan het lagere pi¨ezometrische niveau. Het bewegende caisson zal daarmee iets lager liggen dan het stilliggende caisson. p I.5 Het debiet door het gat wordt bepaald door de Torricelli vergelijking: Q = µA 2g(hbuiten − hbinnen ). Door de instroming van het water zal het totale gewicht van het caisson toenemen. Het caisson zal daarmee zakken. Het hoogteverschil blijft echter constant tussen buiten en binnen.

hbuiten

=

hbuiten

=

hbuiten

=

Mwater + Mcaisson ρw ∗ B ∗ L ρ ∗ B ∗ L ∗ hbin + Mcaisson ρw ∗ B ∗ L Mcaisson hbin + ρw ∗ B ∗ L

Het verschil tussen binnen en buiten is daarmee: ∆h = hbuiten − hbinnen =

Mcaisson ρw ∗ B ∗ L

en daarmee onafhankelijk van de tijd. Het debiet is gegeven door: p Q = µA 2g(hbuiten − hbinnen ) s Mcaisson Q = µA 2g ρw ∗ B ∗ L

Vraagstuk II (Koelwater) II.1

De energiebalans met de de referentiehoogte z = 0 in het midden van de buis: pX U2 pY U2 + X = + Y + ∆H ρg 2g ρg 2g 2 UY2 − UX pX − pY = + ∆H ρg 2g

De impulsbalans: 2 pX A + ρUX µA = pY A + ρUY2 A  2 pX − pY = ρ UY2 − µUX

pX − pY

= ρ UY2 − UX UY



Substitueer de impulsvergelijking in de energievergelijking:  2 ρ UY2 − UX UY UY2 − UX = + ∆H ρg 2g 2 2UY2 − 2UX UY − UY2 + UX = ∆H 2g 2 UY2 − 2UX UY + UX = ∆H 2g 2

(UX − UY ) 2g  2 2 1 U −1 µ 2g

=

∆H

=

∆H

II.2  2 2  2 2 2 1 Het intreeverlies is volgens Carnot: ∆Hintree = µ1 − 1 U2g = 0,7 − 1 U2g = 0, 18 U2g . De bochtver 2 2  2 2 2 1 liezen bedragen: ∆Hbochten = 4 µ1 − 1 U2g = 4 0,9 − 1 U2g = 0, 05 U2g . Het totale energieverlies is 2

daarmee: ∆Htot = (0, 18 + 0, 05) U2g . Met U = Q/(0, 25πD2 ) = 2, 26 m/s, geeft dit: ∆Htot = 0, 06 m. De energiehoogte in B is daarmee: HB = z0 − ∆Htot = −0, 06 m.

II.3 Het pompvermogen is gegeven door P = ρgQ∆H, waarbij ∆H het te overwinnen energieverlies 2 L U2 500 2,26 is door de leiding. Daarom berekenen we eerst ∆H = f D 2g = 0, 015 1,5 2∗9,81 = 1, 31 m. Het pompvermogen is daarmee: P = 1000 ∗ 9, 81 ∗ 4 ∗ 1, 31 = 51 kWatt. II.4 Het pompvermogen wordt gebruikt om een energiehoogte ∆H te overwinnen voor een bepaald debiet Q. Door de aangroei zal de weerstand toenemen. Bij een gelijk debiet, zou daarmee meer energie verloren gaan (∆HCD zou groter worden). Daarmee zou Q∆HCD toe moeten nemen. Dit kan echter niet, omdat het pompvermogen gelijk moet blijven. Het debiet moet daarmee afnemen. Bij een afnemend debiet en een gelijkblijvend pompvermogen zal ∆Htot toe moeten nemen, aangezien Q∆Htot gelijk blijft (al het pompvermogen wordt immers gebruikt, aangezien anders Q weer aanpast). Dit zal vooral gebeuren door de extra weerstand in ∆HCD . Ondanks dat de snelheid afneemt zal het energieverlies in de pijp CD toenemen (de verhoging van de weerstandscoefficient is dominant over de afname van de snelheid). Het energieverlies in het deel AB zal iets afnemen, aangezien de snelheid afneemt.

PCD = ρgQ∆HCD L U2 PCD = ρgQf D 2g L 1 PCD = ρgQ3 f D A2 2g 1 Aangezien P, L, D, g constant zijn geeft dit: Q ∼ f 1/3 . Dit betekent dat ∆H ∼ f 1/3 (omdat ∆H ∼ f Q2 ). Dit betekent dat bij een toenemende f : Q neemt af en ∆H neemt toe.

Vraagstuk III (dambreuk) III.1 Flauwe bodemhelling: de stroming in de eenparige toestand is subkritisch (evenwichtsdiepte groter dan de grensdiepte); steile bodemhelling: de stroming in de eenparige toestand is superkritisch (evenwichtsdiepte kleiner dan grensdiepte). Een praktisch criterium op basis waarvan dit onderscheid gemaakt kan worden is de verhouding tussen de bodemhelling ib en de weerstandsco¨effici¨ent cf ; voor ib < cf is de bodemhelling flauw, en voor ib > cf is de bodemhelling steil. III.2 Veronderstel dat de bodemhelling van traject (1) in eerste instantie flauw is. Als de benedenstroomse randvoorwaarden geen invloed hebben neemt de waterdiepte in punt A daarbij de evenwichtsdiepte aan (subkritische stroming). Zouden we nu de bodemhelling van traject (1) iets groter maken, dan zou de waterdiepte in A (de evenwichtsdiepte) dichter bij de grensdiepte komen te liggen (vanwege de = (cf /ib )1/3 dg ). Bij een verdere toename van het bodemverhang wordt de diepte in A uiteindelijk gelijk aan de grensdiepte. De stroming in A is nu kritisch en de invloed van een verdere toename van de bodemhelling (die inmiddels steil is) op de waterdiepte kan zich vanaf punt A niet meer in bovenstroomse richting voortplanten. De waterdiepte in A blijft vanaf dit moment gelijk en neemt zodoende voor ib > cf de grensdiepte aan. III.3 De specifieke energiehoogte in A (EA ) is gelijk aan het waterniveau in het reservoir ten opzichte van de bodemhoogte in A (hres ). Omdat de waterdiepte in A (dA ) gelijk is aan de grensdiepte geldt dA = 23 EA = 32 hres = 2,0 m. De evenwichtsdiepte voor traject (1) is nu gelijk aan de,1 = (cf,1 /ib,1 )1/3 dg . Met dg = dA = 2,0 m, en invullen van de gegeven bodemhelling en weerstandsco¨effici¨ent geeft dit de,1 = 0,78 m. III.4 Omdat benedenstroomse randvoorwaarden niet merkbaar zijn ter plaatse van de watersprong is de waterdiepte aan de benedenstroomse zijde van de watersprong gelijk aan de evenwichtsdiepte van traject (2): de,2 = (cf,2 /ib,2 )1/3 dg = 3,17 m. De waterdiepte aan de bovenstroomse zijde van de watersprong is de geconjugeerde hiervan. Bereken nu eerst de p impulsoverdracht F benedenstrooms: F = ρ( 21 gd2e,2 + q 2 /de,2 ) = 74,0 kN/m (gebruikmakend van q = dg gdg = 8,86 m2 /s. Oplossen van d uit ρ( 12 gd2 + q 2 /d) = F (superkritische oplossing nemen) geeft uiteindelijke de gevraagde diepte: d = 1,16 m (dit is groter dan de evenwichtsdiepte in traject (1), vandaar dat de watersprong in traject (2) optreedt).

III.5 De stroming in traject (1) is superkritisch (steile helling, stroming in A is kritisch en de watersprong treedt pas op in traject (2)). De bijbehorende randvoorwaarde ligt in punt A waarbij de waterdiepte zich in benedenstroomse richting aanpast, via een S2 type verhanglijn, tot de evenwichtsdiepte bereikt is (superkritische stroming). De randvoorwaarde voor traject (2) ligt in het knikpunt met een waterdiepte gelijk aan de evenwichtsdiepte van traject (1). De stroming is hier superkritisch en past zich in benedenstroomse richting aan tot de evenwichtsdiepte bereikt is. Aanvankelijk via een M3 verhanglijn gevolgd door een watersprong op de plaats waar de geconjugeerde waterdiepte gelijk is aan de nieuwe evenwichtsdiepte (subkritische stroming). Dit laatste gegeven volgt uit de afwezigheid van benedenstroomse randvoorwaarden. Zie de begeleidende figuur.

Vraagstuk IV (drainagekanaal) IV.1 Pas de energievergelijking tot tussen de doorgang bij d0 en de minimale doorgang onder de schuif (met doorstroomhoogte µa). Ter plaatse van deze laatste doorgang is de waterstand gelijk aan het waterpeil in het meer (vrije uitstroming in groot reservoir). De energievergelijking geeft nu d0 + q 2 /(2gd20 ) = hmeer + q 2 /(2g(µa)2 ). Invullen van de gegeven getalswaarden voor q, µa en hmeer in het rechterlid leidt tot: d0 + q 2 /(2gd20 ) = 3,45 m. Oplossen (grafisch of iteratief) geeft uiteindelijk d0 = 3,38 m (subkritische tak van de oplossing nemen). IV.2 In het kanaal treedt een M-type verhanglijn op met als benaderende oplossing (kleine afwijkingen van de eenparige toetstand): d(s) = de + ∆d0 exp(∆s/L). Vanwege het gestelde criterium moet gelden dat 2 km bovenstrooms van de schuif (waarvoor ∆s = -2000 m) de waterdiepte d(s) gelijk is aan dmax = 4,0 m. Hieruit kan de maximum toelaatbare opstuwing ∆d0,max bij de schuif berekend worden. Bereken daartoe eerst de evenwichtsdiepte de = (cf /ib )1/3 (q 2 /g)1/3 = 3,66 m, en vervolgens de aanpassingslengte L = de (1/cf −1/ib )/3 = 2642 m. Invullen van d(s) = dmax in de benaderende oplossing en enig omwerken geeft nu voor de maximale opstuwing ter plaatse van de schuif: ∆d0,max = (dmax − de )/ exp(∆s/L) = 0,73 m. IV.3 Gebruik nogmaals de energievergelijking voor twee doorgangen aan weerszijden van de schuif, maar nu met µa als onbekende. Overige gegevens: waterdiepte d0 = de + ∆d0,max = 4,39 m, hmeer = 3,0 m. Via d0 + q 2 /(2gd20 ) = hmeer + q 2 /2g(µa)2 = 4,56 m volgt nu µa = 1,45 m. IV.4 Pas de balansvergelijking voor horizontale impuls toe tussen de doorgang vlak voor de schuif (t.p.v. d0 ) en de minimale doorgang onder de schuif. De hoogte van de waterkolom waarover in deze laatste doorgang de hydrostatische drukkracht werkt is gelijk aan hmeer . De doorstroomhoogte ervan bedraagt µa = 1,45 m. Dit geeft voor de horizontale kracht op de schuif (per eenheid van breedte): KH = F0 − Fµa = ρ( 21 gd20 + q 2 /d0 − 12 gh2meer − q 2 /µa), waaruit na invullen van alle getalswaarden direct volgt (geen iteratie nodig) KH = 20,65 kN/m. IV.5 De randvoorwaarde ter plaatse van de uitstroming in het meer is bij een volledige geopende schuif gelijk aan d0 = hmeer = 3,0 m. Omdat dmax > d0 is voor het maximum debiet de bijbehorende verhanglijn van het type M2 met als maximum diepte de evenwichtsdiepte: dmax = de . Dit 2 geeft (cf /ib )1/3 (qmax /g)1/3 = 4,0 m. Voor de gegeven waarden van het bodemverhang en de weerstandsco¨effici¨ent volgt zo een maximum debiet qmax = 9,15 m2 /s.

Faculteit Civiele Techniek and Geowetenschappen Schriftelijk tentamen

CTB2110

Vloeistofmechanica Totaal aantal pagina’s

6

Datum en tijd

07-11-2017

Verantwoordelijke docent

Bram van Prooijen

pagina’s van 13:30 - 16.30

uur

Alleen het op tentamenpapier geschreven werk / antwoord wordt beoordeeld, tenzij onder ‘aanvullende informatie’ anders is aangegeven. Tentamenvragen (in te vullen door examinator) Totaal aantal vragen: 4

(waarvan 4

open vragen en 0

multiple-choice vragen)

Max. te behalen punten: 22,5 alle vragen tellen even zwaar ✔ vragen hebben verschillende weging (gewicht staat per vraag vermeld of wordt in overzicht gegeven.) Gebruik hulpmiddelen en informatiebronnen tijdens tentamen (in te vullen door examinator) Niet toegestaan: • •

Smartphone of apparaat met vergelijkbare functies. Antwoord geschreven met potlood.



Hulpmiddelen en/of informatiebronnen tenzij hieronder anders vermeld.

Toegestaan: boeken

aantekeningen

woordenboeken

dictaten

formulebladen (zie ook onder ‘Aanvullende informatie’)

✔ rekenmachines

computers

✔ Op tentamen uitgereikt formuleblad.

Aanvullende informatie

Ieder vraagstuk dient op een afzonderlijk antwoordformulier ingeleverd te worden! Bij de beoordeling van het examenwerk zal voornamelijk worden gelet op een goede systematische aanpak en een juiste toepassing van de theorie. Indien bij de uitwerkingen aannames worden gedaan, dan moeten deze duidelijk worden vermeld. Geef waar nodig een beknopt commentaar. Wanneer het antwoord op een subvraag in vervolgvragen nodig is, maar niet kan worden berekend, neem dan een plausibele waarde daarvoor aan in de beantwoording van de vervolgvragen. Getalsmatige grootheden moeten, in ieder geval in de eindantwoorden, van de juiste eenheden worden voorzien. Uiterlijke datum nakijken tentamen: 29-11-2017

(in te vullen door examinator)

(de uiterlijke nakijktermijn bedraagt 15 werkdagen)

Elk vermoeden van fraude wordt

!

Mobiel UIT

gemeld bij de Examencommissie

Vraagstuk I (Pijpleiding) Een pijpleiding kruist een rivier. Hierbij wordt de pijpleiding over de bodem van de rivier gelegd, zie figuur. Let op: de vertikale schaal is niet gelijk aan de horizontale schaal. De pijpdiameter bedraagt Dpijp = 1m. De pijp heeft een ruwheidsco¨effici¨ent van cf = 0.005. Het debiet door de pijp bedraagt Q = 0.5m3 /s.

I.11

Laat zien dat hydraulisch ruwe condities gelden. 2

U I.21.5 Leid de vergelijking voor het energieverhang door wandwrijving af: ∆H ∆s = −cf gR , met s de co¨ ordinaat langs de pijp en R de hydraulische straal. Bereken het energieverlies als gevolg van wandwrijving tussen A en E.

I.31 (i) Geef aan waarom er energieverlies optreedt in de bochten. (ii) Bepaal het energieverlies in een enkele bocht. Introduceer indien nodig nieuwe parameters en geef daar een schatting voor. In E wordt een pi¨ezometrisch niveau van hE = 2m gemeten. I.41 Teken/schets het verloop van het energieniveau en het pi¨ezometrisch niveau tussen A en E. Exacte waardes hoeven niet berekend te worden. Geef wel een beknopte uitleg. De pijp tussen B en C moet vervangen worden. Er wordt voorgesteld om de de pijp dan direct een grotere diameter te geven. De nieuwe diameter bedraagt DBC = 1.5m. I.51 Wat is het gevolg voor het energieniveau in punt A en in punt D in vergelijking met de voorgaande situatie? Geef een duidelijke uitleg.

Vraagstuk II (bochtafsnijding rivier) Ten behoeve van de scheepvaart wordt in een sterk meanderende rivier een reeks opeenvolgende bochten afgesneden en afgedamd. Het resulterende traject A-B is korter dan het oorspronkelijke riviertraject tussen deze twee punten en heeft daardoor een grotere bodemhelling. Deze ingreep be¨ınvloedt uiteraard het verloop van de waterstand in de rivier. Zie onderstaande figuur.

II.11 Omschrijf de betekenis van de begrippen flauwe bodemhelling respectievelijk steile bodemhelling, en leg uit waarom het in de context van bovenstaand probleem van belang is dit onderscheid te maken. We nemen aan dat de rivier, met inbegrip van het verkorte traject A-B, een uniforme breedte B heeft van 300 m en een uniforme weerstandsco¨effici¨ent cf van 5 × 10−3 . De bodem verloopt continu met een bodemverhang ib van 4 × 10−5 in het onaangepaste deel van de rivier; het bodemverhang in het verkorte traject A-B is anderhalf keer zo groot. Het debiet Q in de rivier bedraagt 800 m3 /s. De randvoorwaarde(n) benedenstrooms van punt B liggen op een zodanig grote afstand dat zij de waterdiepte in B niet be¨ınvloeden. II.21 Bereken de grensdiepte en de evenwichtsdiepte van de oorspronkelijke rivier en van het verkorte traject A-B en maak een schets van het verloop van de bodemhoogte en de waterstand langs het in de bovenstaande figuur weergegeven deel van de rivier; geef in de schets ook de grensdiepte, de evenwichtsdiepte en het type verhanglijn aan. Het verkorte traject A-B heeft een lengte L van 12 km. II.31,5 Bereken de waterdiepte dA in punt A voor en na de bochtafsnijding; gebruik indien nodig de theorie voor kleine afwijkingen van de eenparige toestand. De resulterende waterdiepte langs het verkorte traject blijkt bij nader inzien te beperkend voor de scheepvaart. Men overweegt daarom om in punt B een stuw te plaatsen teneinde de waterdiepte in het verkorte traject A-B te vergroten. Zie onderstaande figuur.

II.41,5 Bereken de minimaal benodigde opstuwing ∆hB ter plaatse van punt B zodanig dat de waterdiepte in het traject A-B overal groter is dan de waterdiepte tussen A en B voor de bochtafsnijding. De stuw bestaat uit een verstelbare schuif over de volledige breedte B van de rivier. De opstuwing ∆hB hangt af van de netto doorstroomhoogte µa onder de schuif en van de benedenstroomse waterdiepte. II.51 Geef de twee vergelijkingen waarmee je de netto doorstroomhoogte µa kunt berekenen waarvoor de opstuwing ∆hB bedraagt, en leg in woorden uit hoe je dit stelsel vergelijkingen kunt oplossen. II.6bonuspunt Bereken voor de minimaal benodigde opstuwing ∆hB van vraag II.4 de vereiste netto doorstroomhoogte µa onder de schuif.

Vraagstuk III (Flyboarder) In een flyboard wordt de stroming die uit een slang komt omgebogen. Op deze manier kan een persoon op het flyboard staan. Een voorbeeld is gegeven in bijgaande figuur. Een flyboard is verbonden met een bootje waar een pomp op zit om het benodigde vermogen te leveren. Een schematisatie van een flyboard is gegeven in de schets. Een inkomende stroming uit een slang stroomt door de behuizing en stroomt vervolgens als twee vrije stralen weer uit. De diameter van de slang is gelijk aan de diameter van elk van de twee uitgaande stralen: D = 10cm. De flyboarder is 80 kilogram.

II.11 Bereken het benodigde debiet om de flyboarder stil in de lucht te laten hangen. Beschouw alleen het vertikale evenwicht. De druk in het flyboard mag uniform aangenomen worden. Iemand argumenteert: ”Als het flyboard zich net op het wateroppervlak begeeft is de benodigde opvoerhoogte gelijk aan nul. Daarmee is geen vermogen nodig, aangezien het vermogen wordt bepaald door P = ρgQ∆H”. II.21

Leg uit waarom deze redenering niet klopt.

Aan het begin van de show zweeft de flyboarder ruim boven het wateroppervlak. Vervolgens verhoogt hij het vermogen en dit vermogen houdt hij constant. II.31 Geef aan wat er zal gebeuren met de flyboarder. Een voorbeeldberekening mag, maar een duidelijke uitleg volstaat ook. Om het pompvermogen te optimaliseren wordt voorgesteld om de diameter van de slang te veranderen. II.41 Geef een argument om de diameter te vergroten en geef een argument om de diameter te verkleinen.

Vraagstuk IV (overlaat met begroeiing) In een experimenteel onderzoek wordt nagegaan hoe de aanwezigheid van begroeiing op de kruin van een lange overlaat de bovenstroomse waterstand opstuwt. Hiertoe wordt in een horizontale stroomgoot met een uniforme breedte een lange overlaat gemonteerd. Door middel van het aanbrengen van een fijnmazig rooster op de kruin van de overlaat kan de begroeiing worden nagebootst. Zie onderstaande schets van de situatie.

De stroomgoot heeft een breedte B van 35 cm. Het specifieke debiet q in de stroomgoot wordt op de gebruikelijke wijze bepaald via een zogenaamde retourgoot. Deze laatste heeft een breedte b van 23 cm en aan het uiteinde een Rehbock stuw met een afvoerco¨effici¨ent m van 1,05. In de bijbehorende peilput wordt een energiehoogte Ek gemeten van 12 cm ten opzichte van de kruinhoogte van de Rehbock stuw. IV.11

Bereken het bijbehorende specifieke debiet q in de stroomgoot waarin de overlaat staat.

De lange overlaat in de stroomgoot heeft een kruinhoogte a van 10 cm ten opzichte van het bodemniveau. In eerste instantie doet men een meting zonder rooster. De waterdiepte d0 benedenstrooms van de overlaat bedraagt daarbij 18 cm. IV.21,5 Bereken de bijbehorende waterdiepte dk,1 op de kruin van de overlaat, en vervolgens de waterdiepte d1 bovenstrooms van de overlaat; gebruik q = 4, 5 × 10−2 m2 /s indien je het antwoord op vraag IV.1 niet hebt kunnen berekenen. Vervolgens wordt in het midden van de kruin van de overlaat een fijnmazig rooster aangebracht. Het debiet in de goot en de stand van de schuif aan het benedenstroomse uiteinde van de stroomgoot blijven daarbij ongewijzigd. IV.31 Leg uit waarom door het aanbrengen van het rooster, waarbij alle overige instellingen van de goot gelijk blijven, alleen de waterstand bovenstrooms van het rooster be¨ınvloed wordt. 2 Ter plaatse van het rooster treedt een verlies aan energiehoogte op van ξ Uk,2 /2g; hierin is ξ de verliesco¨effici¨ent van het rooster en Uk,2 de stroomsnelheid op de overlaat bovenstrooms van het rooster. Voor het in het experiment toegepaste rooster is ξ gelijk aan 2.

IV.41,5 Bereken de waterdiepte dk,2 op de kruin aan de bovenstroomse zijde van het rooster, en vervolgens de waterdiepte d2 bovenstrooms van de overlaat (het verschil d2 − d1 is nu de door het rooster veroorzaakte opstuwing).

Uitwerking tentamen Vloeistofmechanica - CTB2110, 23-01-2017

Vraagstuk I (Pijpleiding) I.11 √1

8cf

  k √ = −2 log 0.27 D + Re2.5 . Het linker deel geeft √1f = f   k √ = 0.0032 = 0.27 D . k is onbekend. Met Re = Q/AD + Re2.5 = ν f

De White-Colebrook vergelijking geeft: = 5. Daarmee dient te gelden 10−2.5

6.3105 wordt de term condities gelden.

2.5 √ Re f

√1 f

k >> = 1.910−5 . Daarmee is 0.27 D

2.5 √ . Re f

Dit houdt in dat er hydraulisch ruwe

I.21 Beschouw een deel pijp met lengte ∆s en pas een impulsbalans toe. Kracht links: FL = pL A + ρUL2 A; 2 kracht rechts: FR = pR A + ρUR2 A; en kracht door wandwrijving: Fw = τ ∆sπ D4 . De krachten door meevoering zijn links en rechts gelijk, aangezien een uniforme pijp diameter wordt beschouwd. Daarmee 2 wordt de krachtenbalans: pL A − pR A − τ ∆sπ D4 = 0. Dit herschrijven we door gebruik te maken van 2 D2 ∆p = pR − pL en τb = ρcf u2 : dp ds = ρcf u π 4 . Gebruikmaken van de definitie voor de hydraulische straal: D ∆h U2 ∆H ∆h U2 R= A 2 = 4 en door p = ρgh geeft: ∆s = −cf gR . Voor een uniforme snelheid geldt: ∆s = ∆s = −cf gR . π D4 p De totale lengte tussen A en E bedraagt: L = 300 + 1200 + 2 ∗ (1002 + 122 ) = 1701m. Het verval U2 door wandwrijving in de pijpleiding kan berekend worden met: ∆HAE = LAE cf g(D/4) (dit volgt uit de 2

0.64 = 1701 ∗ 0.00083 = impulsbalans, of zie formuleblad). Het verval is daarmee: ∆HAE = 1701 ∗ 0.005 9.81∗(1/4) 1.4m.

I.31 (i) Energieverlies treedt op als er loslating ontstaat in de bochten. Er treedt dan contractie op. Na de contractie treedt energieverlies op. (ii) Om het energieverlies te bepalen wordt gebruik gemaakt van de  2 2 vergelijking voor verlies bij lokale vernauwingen: ∆H = µ1 − 1 U2g . Een realistische waarde voor µ ligt tussen de 0.5 en 1. I.41 Het energieniveau neemt lineair af in de pijpleiding door wandwrijving (de snelheid is immers uniform). In de bochten neemt het energieniveau extra af. De snelheid is overal uniform en daarmee de snelheidshoogte u2 ezometrisch niveau loopt daarmee parallel aan het energieniveau. Let op: het energieniveau 2g ook. Het pi¨ en het pi¨ezometrisch niveau volgen daarmee niet de vorm van de leiding!

1

I.51 De pijpdiameter verandert niets aan het debiet. Er verandert daarmee niets aan het deel vanaf C. Het energieniveau wordt vanaf C bepaald door het debiet en het benedenstroomse energieniveau. Door de grotere diameter in B-C zal de snelheid over dit deel afnemen en zal ook het wrijvingsverlies afnemen. Het energiniveau in B zal daarmee lager liggen. Dit heeft eveneens gevolgen voor punt A. Ook daar zal het energieniveau lager liggen. Oftewel: in D verandert niets en in A zal het energieniveau lager liggen.

Vraagstuk II (bochtafsnijding rivier) II.11 Flauwe bodemhelling: de stroming in de eenparige toestand is subkritisch (evenwichtsdiepte groter dan de grensdiepte); steile bodemhelling: de stroming in de eenparige toestand is superkritisch (evenwichtsdiepte kleiner dan grensdiepte). Of de bodemhelling flauw danwel steil is is bepalend voor het type verhanglijn dat optreedt (M- respectievelijk S-type) en waar de randvoorwaarden moeten worden opgelegd: benedenstrooms bij subkritische stroming (M1,2 en S1 type verhanglijnen en bovenstrooms bij superkritische stroming (M3 en S2,3 type verhanglijnen). II.21 Grensdiepte: dg = (q 2 /g)1/3 ; met q = Q/B = 2,67 m2 /s geeft dit dg = 0,90 m. Evenwichtsdiepte: de = dg (cf /ib )1/3 . Vanwege het verschil in bodemverhang maken we onderscheid tussen de oorspronkelijke rivier (ib,0 = 4 × 10−5 ) en het verkorte traject A-B (ib,1 = 6 × 10−5 ); dit geeft respectievelijk de,0 = 4,49 m (oorspronkelijke rivier) en de,1 = 3,92 m (traject A-B). Benedenstrooms van B heerst de eenparige toestand (randvoorwaarden hebben geen invloed) met een diepte gelijk aan de,0 . Tussen A en B is de evenwichtsdiepte gelijk aan de,1 < de,0 resulterend in een M1 -type verhanglijn langs dit traject (met de randvoorwaarde in B). Bovenstrooms van A is de evenwichtsdiepte gelijk aan de,0 > dA resulterend in een M2 -type verhanglijn. Zie onderstaande schets.

II.31,5 In de oospronkelijke situatie heerst in punt A de oorspronkelijke evenwichtsdiepte de,0 = 4,49 m (geen be¨ınvloeding door eventuele randvoorwaarden benedenstrooms). In de nieuwe situatie treedt tussen A en B een M1 -type verhanglijn op met de waterdiepte in A gegeven door (zie formuleblad): dA = de,1 + (dB − de,1 ) exp ((sA − sB )/L), waarin dB = de,0 de waterdiepte in punt B is, sA,B de co¨ordinaat in stroomrichting en L de aanpassingslengte van het traject A-B. Deze laatste is gegeven door: L = de,1 (1/ib,1 − 1/cf )/3 = 21,53 km. Invullen van een en ander (met sA − sB = -12 km) geeft uiteindelijk dA = 4,29 m. II.41 Om aan de voorwaarde te voldoen moet gelden dat dA ≥ de,0 . Voor het grensgeval dA = de,0 (voldoet nog net) geeft de verhanglijnvergelijking: dA = de,0 = de,1 + (dB − de,1 ) exp ((sA − sB )/L), met dB als enige onbekende. Uitwerken geeft dB = 4,91 m. Omdat de waterdiepte benedenstrooms van de stuw gelijk is aan de,0 is de minimaal benodigde opstuwing gelijk aan ∆hB ≡ dB − de,0 = 0,42 m.

2

II.51 De stroming onder de schuif wordt berekend via de energievergelijking (van bovenstrooms tot punt van maximum contractie, en de balansvergelijking voor horizontale impuls (van maximum contractie tot het punt benedenstrooms waar de stroming weer verticaal uniform is). Dit geeft, respectievelijk, dB + (q/dB )2 /2g = d∗ + (q/µa)2 /2g 2 1 2 gd∗

2

+ q /µa =

2 1 2 gde,0

2

+ q /de,0

(energie)

(1)

(impuls)

(2)

waarin d∗ de waterdiepte achter de schuif is ter plaatse van het maximum contractie punt. Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden (d∗ en µa). Het linkerlid van vergelijking (1) en het rechterlid van vergelijking (2) volgen direct uit de reeds bekende gegevens. Via vergelijking (1) kan d∗ worden uitgedrukt in termen van µa. Invullen van deze uitdrukking in vergelijking (2) geeft tenslotte een vergelijking met als enige onbekende µa. II.6bonuspunt Noem het linkerlid van vergelijking (1) EB en het rechterlid van vergelijking (2) F0 ; deze volgen rechtstreeks uit de gegevens. Uit vergelijking (1) volgt nu: d∗ = EB − (q/µa)2 /2g. Invullen hiervan 2 in vergelijking (2) geeft: 21 g EB − (q/µa)2 /2g + q 2 /µa = F0 . Deze vergelijking kan worden opgelost voor de onbekende µa (grafische rekenmachine), met als resultaat µa = 0,77 m.

Vraagstuk III III.11 Om de flyboarder in evenwicht te houden moeten een krachtenevenwicht gelden. De zwaartekracht werkt naar beneden: G = mg = 80 ∗ 9.81 = 784.8N. Aangenomen mag worden dat de druk in het flyboard gelijk is aan de atmosferische druk (aangegeven was dat de druk uniform is). Alleen de krachten door advectie moeten daarom meegenomen worden. De aanvoerbuis levert een kracht Fin en de twee uitvoerbuizen leveren een kracht Fuit . Beide krachten zijn naar boven gericht. Het krachtenevenwicht wordt daarmee: Fin + 2Fuit = G. Q2 Q2 De kracht door de aanvoerbuis is: Fin = ρw uQ = ρw π0.25D De kracht door een uit2 = 4ρw πD 2 . 2

2

2

Q Q stroomopening: Fuit = ρw (0.5∗Q) w πD 2 . π0.25D 2 = ρw πD 2 . Het krachtenevenwicht wordt daarmee G = (4 + 2)ρ q Q2 Gπ Uitgaande van Aangezien moet gelden Ff lyboard − G = 0, wordt G = 6ρw πD 2 , resulterend in Q = D 6ρw = q 3 0.1 784.8∗π 6∗1000 = 0.064 m /s. De bijbehorende snelheid door de invoerslang is u = 8.1 m/s.

III.21 De benodigde opvoerhoogte is niet gelijk aan nul. Er is nog een snelheidshoogte en er is energiev2 U2 erlies door de aanvoerslang. Daarmee wordt de te overwinnen energiehoogte: ∆H = f8 gR + U2g . De laatste term is al 3.3m. III.31 Zoals aangegeven in de vergelijking voor het vermogen, kan het vermogen gebruikt worden voor extra debiet of voor extra hoogte. Als het vermogen plotseling verhoogd wordt is op dat moment de hoogte nog niet verandert. Het debiet wordt daarmee groter en de flyboarder zal omhoog versnellen. Bij de toename in hoogte zal bij gelijkblijvend vermogen het debiet echter afnemen. Als het debiet echter kleiner wordt dan het benodigde draagdebiet (zie III.1) dan zal de persoon weer naar beneden versnellen. Oftewel, er is evenwicht als de hoogte bereikt is als het vermogen precies het draagdebiet levert. Dit is hoger dan de initi¨ele hoogte. III.41 Vergroting van de diameter geeft een verlaging van het wrijvingsverlies. Verkleining van de diameter geeft een hogere snelheid en daarmee een grotere kracht bij een gelijk debiet. Een optimum dient daarmee gezocht te worden voor een zo groot mogelijke kracht, bij een beperkt energieverlies door wandwrijving.

3

Vraagstuk IV (overlaat met begroeiing) √ IV.11 Voor het debiet over de Rehbock stuw geldt: Q = m b dk gdk , waarin de diepte op de kruin dk = 32 Ek = 0.08 m. Hieruit volgt Q = 0,017 m3 /s. Voor het specifieke debiet q in de stroomgoot geldt nu, vanwege continuiteit, q = Q/B = 0,049 m2 /s. IV.21,5 Pas de balansvergelijking voor horizontale impuls toe op een balansgebied met als verticale begrenzingen de doorgang vlak achter de overlaat en de doorgang waar de diepte d0 is gegeven. Op een contstante factor ρB na geeft dit: 12 g(dk,1 +a)2 +q 2 /dk,1 = 12 gd20 +q 2 /d0 . Het rechterlid volgt rechstreeks uit de gegeven waarde van d0 en het berekende specifieke debiet q: FH,0 = 0,17 m3 /s2 . De diepte op de kruin dk,1 kan nu (grafische rekenmachine of iteratie) bepaald worden, met als resultaat dk,1 = 6,7 cm. De waterdiepte d1 bovenstrooms van de overlaat volgt uit de energievergelijking H1 = Hk,1 (geleidelijk versnellende stroming), oftewel, d1 + (q/d1 )2 /2g = a + dk,1 + (q/dk,1 )2 /2g. Het rechterlid kan rechtsreeks worden berekend door invullen van q en dk,1 waaruit een vergelijking voor de onbekende d1 volgt. Oplossen hiervan geeft d1 = 19,1 cm (subkritisch). II.31 De stroming in de goot is subkritisch, de waterstand is daarbij bepaald door de benedenstroomse randvoorwaarde (via de schuif aan het uiteinde van de stroomgoot). Na het aanbrengen van het rooster blijft de stroming subkritisch en het rooster zal daarom alleen in bovenstroomse richting invloed hebben (opstuwing van de waterstand); benedenstrooms van het rooster verandert de waterstand niet. II.41 Pas de energievergelijking (met de verliesterm) toe op een balansgebied op de kruin van de overlaat met verticale begrenzingen voor (doorgang k, 2), respectievelijk achter het rooster (doorgang k, 1): dk,2 + (q/dk,2 )2 /2g − ξ(q/dk,2 )2 /2g = dk,1 + (q/dk,1 )2 /2g. Het rechterlid volgt rechtstreeks uit reeds bekende gegevens; wat resteert is een vergelijking met dk,2 als enige onbekende. Oplossen (grafisch of iteratief) geeft dk,2 = 10,5 cm (subkritische oplossing kiezen) Pas voor de waterdiepte d2 bovenstrooms van de overlaat wederom de energievergelijking toe: d2 + (q/d2 )2 /2g = dk,2 + (q/dk,2 )2 /2g; na invullen van q en dk,2 kan de vergelijking voor d2 worden opgelost resulterend in d2 = 21,3 cm (subkritisch).

4

Faculteit Civiele Techniek and Geowetenschappen Schriftelijk tentamen

CTB2110

Vloeistofmechanica Totaal aantal pagina’s

6

Datum en tijd

07-11-2017

Verantwoordelijke docent

Bram van Prooijen

pagina’s van 13:30 - 16.30

uur

Alleen het op tentamenpapier geschreven werk / antwoord wordt beoordeeld, tenzij onder ‘aanvullende informatie’ anders is aangegeven. Tentamenvragen (in te vullen door examinator) Totaal aantal vragen: 4

(waarvan 4

open vragen en 0

multiple-choice vragen)

Max. te behalen punten: 22,5 alle vragen tellen even zwaar ✔ vragen hebben verschillende weging (gewicht staat per vraag vermeld of wordt in overzicht gegeven.) Gebruik hulpmiddelen en informatiebronnen tijdens tentamen (in te vullen door examinator) Niet toegestaan: • •

Smartphone of apparaat met vergelijkbare functies. Antwoord geschreven met potlood.



Hulpmiddelen en/of informatiebronnen tenzij hieronder anders vermeld.

Toegestaan: boeken

aantekeningen

woordenboeken

dictaten

formulebladen (zie ook onder ‘Aanvullende informatie’)

✔ rekenmachines

computers

✔ Op tentamen uitgereikt formuleblad.

Aanvullende informatie

Ieder vraagstuk dient op een afzonderlijk antwoordformulier ingeleverd te worden! Bij de beoordeling van het examenwerk zal voornamelijk worden gelet op een goede systematische aanpak en een juiste toepassing van de theorie. Indien bij de uitwerkingen aannames worden gedaan, dan moeten deze duidelijk worden vermeld. Geef waar nodig een beknopt commentaar. Wanneer het antwoord op een subvraag in vervolgvragen nodig is, maar niet kan worden berekend, neem dan een plausibele waarde daarvoor aan in de beantwoording van de vervolgvragen. Getalsmatige grootheden moeten, in ieder geval in de eindantwoorden, van de juiste eenheden worden voorzien. Uiterlijke datum nakijken tentamen: 29-11-2017

(in te vullen door examinator)

(de uiterlijke nakijktermijn bedraagt 15 werkdagen)

Elk vermoeden van fraude wordt

!

Mobiel UIT

gemeld bij de Examencommissie

Vraagstuk I (haaienbassin) Voor een dierentuin is een nieuw haaienbassin ontworpen. Het bassin bestaat uit een bak met een vierkant grondvlak en verticale wanden. Door het bassin loopt een glazen loopbrug met cirkelvormige doorsnede. Deze loopbrug is bevestigd aan wanden aan de uiteinden van de loopbrug, zie figuur. De binnenkant van de loopbrug staat in directe verbinding met de buitenlucht. In de loopbrug heerst daarom altijd de atmosferische druk, evenals aan het wateroppervlak van het bassin.

I.11

Bereken de netto verticale drukkracht van het water op de loopbrug.

I.21

Bereken de horizontale drukkracht van het water op de linker helft (deel ABC) van de loopbrug.

Na aanleg van de loopbrug blijkt dat er bij punt C een gat zit. Na een uur is 3000 liter water de loopbrug ingestroomd (een kleine hoeveelheid ten opzichte van de totale hoeveelheid water). I.31

Bereken de netto doorsnede van het gat bij punt C.

De gaten worden provisorisch dichtgemaakt, maar voor een grondige reparatie moet het bassin geleegd worden. Daartoe wordt gebruik gemaakt van een uitstroombuis. Het waterpeil in het bassin ten opzichte van het niveau van de uitstroomopening (zie figuur) is weergegeven als hoogte h. Om een schatting te maken van de leeglooptijd wordt in eerste instantie de loopbrug buiten buiten beschouwing gelaten. I.41

Leid af dat de leeglooptijd van het bassin (tot aan de uitstroomopening) gelijk is aan: s B2 2h0 tleegloop = µAuit g

met leeglooptijd tleegloop , breedte van het bassin B, effectieve oppervlakte van de uitstroom µAuit en initi¨ele hoogte h0 = h(t = 0). Ga uit van de situatie zonder loopbrug.

I.51 (i) Schets eerst het verloop van de waterstand in de tijd (h uitgezet tegen tijd) zonder de loopbrug. (ii) Schets vervolgens het verloop voor de situatie met de loopbrug. Geef daarbij op de verticale as de positie van de loopbrug aan.

Vraagstuk II (strandsuppletie) Voor een strandsuppletie wordt sediment gebaggerd uit zee en opgespoten op het strand. Voor deze strandsuppletie wordt een pijpleiding aangelegd tussen het baggerschip en het strand. De leiding drijft op het water en ligt daarmee horizontaal. Aan het ene uiteinde van de pijp zit een pomp, die in verbinding staat met het ruim van het baggerschip. Het andere uiteinde is open, waardoor het water horizontaal uitstroomt. De pijpleiding heeft een lengte L = 500m en een diameter van D = 0, 80m. Het ontwerpdebiet bedraagt Q = 1m3 /s. Het zand-water mengsel heeft een dichtheid van 1100 kg/m3 . De ruwheid van de pijp kan als hydraulisch ruw aangenomen worden, met een ruwheidshoogte van ks = 1, 0mm.

II.11

Leg het verschil uit tussen hydraulisch gladde condities en hydraulisch ruwe condities.

II.21 Bereken de schuifspanning in het midden van de pijp en aan de wand van de pijp. Teken het verloop van de schuifspanning tussen het midden en de wand. II.31,5 Teken het energieniveau en het pi¨ezometrisch niveau tussen A (vlak na de pomp) en C (net na de uitstroming). Bereken daartoe de relevante waardes. (mocht je bij II.2 geen Darcy-Weisbach co¨effici¨ent bepaald hebben, reken dan met f = 0.02.) Aan het uiteinde van de buis wordt een spuitstuk aangebracht om het zand verder te verspreiden, zie figuur. De diameter van de uitstroomopening is gehalveerd tot D = 0, 40m.

II.41 Bereken het extra pompvermogen dat nodig is om hetzelfde debiet te behouden. II.51,5 Bereken de netto horizontale kracht die het water op het spuitstuk uitoefent.

Vraagstuk III (waterinname rivier) Een waterbedrijf onttrekt oppervlaktewater aan een rivier. Hiertoe is plaatselijk in de oever van de rivier een korte volkomen overlaat aangebracht met een vaste kruinhoogte. Zie onderstaande schets van de rivier en de situatie ter plaatse van het innamepunt.

III.11 Benoem de twee belangrijkste verschillen tussen een korte volkomen overlaat en een lange onvolkomen overlaat, en leg aan de hand hiervan uit in welk van deze gevallen voor een gegeven waterdiepte dk op de kruin het specifieke debiet q het grootst is. De overlaat heeft een netto doorstroombreedte b van 25 m en een afvoerco¨effici¨ent m van 1,04 . De snelheidshoogte in de rivier is onder alle omstandigheden verwaarloosbaar klein ten opzichte van de specifieke energiehoogte op de kruin van de overlaat. III.21 Bereken het lokale waterpeil h in de rivier ten opzichte van de kruin van de overlaat, wanneer het onttrokken debiet ∆Q gelijk is aan 40 m3 /s. Het waterpeil in de rivier varieert niet noemenswaardig in de directe omgeving van het innamepunt. De inname van ruw drinkwater be¨ınvloedt de waterstand in de rivier tot op grote afstand van de inlaat (verhanglijn). III.31 Benoem de drie belangrijkste uitgangspunten van de theorie die dergelijke veranderingen van de waterstand beschrijft, en leg aan de hand van een tegenvoorbeeld uit welk type waterstandsveranderingen niet door deze theorie verklaard worden. Het natuurlijk debiet Q0 in de rivier (zonder de waterinname) bedraagt 500 m3 /s. Voor een eerste berekening wordt de rivier geschematiseerd door middel van een rechthoekig dwarsprofiel met een uniforme breedte B van 85 m, een constant bodemverhang ib van 3 × 10−4 en een weerstandsco¨effici¨ent cf van 4 × 10−3 . Daarnaast wordt verondersteld dat de invloed van benedenstrooms gelegen randvoorwaarden niet merkbaar is ter plaatse van de inlaat. III.41,5 Maak een schets van het verloop van de waterstand in de rivier voor een ruim traject bovenstrooms en benedenstrooms van de inlaat, en bereken vervolgens de waterdiepte in een punt P op 5 km afstand bovenstrooms van de inlaat. Ga bij de berekening uit van kleine afwijkingen ten opzichte van de eenparige toestand. Tijdens een periode van droogte neemt de natuurlijke afvoer af tot 200 m3 /s. De kruinhoogte, de netto breedte b en de af-voerco¨effici¨ent m van de overlaat blijven daarbij gelijk. Alle eerdere aannamen en vereenvoudigingen blijven van kracht. III.51,5 Geef het stelsel vergelijkingen waarmee je de grootte van het ingenomen debiet ∆Q0 in deze nieuwe situatie kunt uitrekenen, en leg uit hoe je dit stelsel oplost. De berekening zelf hoeft niet te worden uitgevoerd (het mag wel), het gaat om een uitleg van de aanpak.

Vraagstuk IV (stormvloedkering met turbines) Een stormvloedkering bestaat uit een serie pijlers met daartussen doorstroomopeningen, elk bestaande uit een drempel en een schuif welke onder normale omstandigheden volledig geopend is. Het debiet door de kering vari¨eert in de tijd als gevolg van het getij, maar kan daarbij op ieder willekeurig moment als stationair worden beschouwd. Dat wil zeggen, het debiet hangt uitsluitend af van de momentane waarden van de waterdiepten aan weerszijden van de kering. IV.11 Wat volgt uit dit laatste gegeven voor de versnellingen van een waterdeeltje dat de kering passeert? We laten de invloed van de pijlers tussen de afzonderlijke openingen verder buiten beschouwing en gaan uit van de situatie per eenheid van breedte met een constante bodemhoogte in de omgeving van de kering. De horizontale drempel heeft een hoogte ak van 3 m ten opzichte van het lokale bodemniveau. De stroomlijnen boven de drempel zijn recht en horizontaal. Een en ander is weergegeven in onderstaande figuur.

Tijdens hoogwater op zee, met de stroomrichting zoals in bovenstaande figuur, bedraagt de waterdiepte d0 aan de zeezijde van de kering 10 m. Daarbij wordt op de drempel een waterdiepte dk gemeten van 6 m. IV.21 Bereken het specifieke debiet q door de kering, ervan uitgaande dat de energieverliezen langs deel A-B-C van de drempel verwaarloosbaar klein zijn. (Ga verder met q = 35 m2 /s als je hier niet uit komt.)

De grootte van de horizontale drukkracht op het (schuin verlopende) deel C-D van de drempel wordt bepaald door de gemiddelde waterdiepte langs dit deel en is (per eenheid van breedte) gegeven door 1 2 ρg (dk + d1 ) ak . IV.31,5 Bereken voor de situatie van vraag IV.2, en uitgaande van de bovenstaande formulering voor de grootte van de horizontale drukkracht langs deel C-D, de waterdiepte d1 benedenstrooms van de kering. De hoge stroomsnelheid boven de drempel kan worden benut voor energieopwekking. Hiertoe worden in de kering turbines ge¨ınstalleerd met een rotordiameter van 4 m en een weerstandsco¨effici¨ent van 1,2 welke is gedefinieerd voor het totale oppervlak bestreken door de draaiende rotor. Zie onderstaande figuur.

Tijdens het eerder beschouwde hoogwater, met een waterdiepte d0 op zee van 10 m, bedraagt het nominaal opgewekte vermogen per turbine 0,2 MW. De dichtheid van zeewater bedraagt 1025 kg/m3 . IV.41 Bereken het specifieke debiet q door de kering voor de situatie m`et turbines. Aanwijzing: het nominale turbinevermogen is gelijk aan cw A 12 ρUB3 , waarin UB de stroomsnelheid is in doorgang B, zie figuur. (Ga verder met q = 22 m2 /s als je hier niet uit komt.) De turbines hebben onderling een hart op hart afstand van 8 m. IV.51,5

Bereken de bijbehorende waterdiepte op de drempel achter de turbines (doorgang C) .

Fp =

1 ρgd2 2

p.e.v. breedte

p − pa ρg

Pi¨ezometrisch niveau, atmosferische druk pa : h≡z+

grootheid f ,

Hydrostatisch evenwicht, ρg en pa constant: h = constant

Kinematica Versnelling van een deeltje Meebewegende (materi¨ele) afgeleide, T (ux , uy , uz ) : ∂f ∂f ∂f ∂f Df ≡ + ux + uy + uz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z In natuurlijk (s, n, b) assenstelsel: Df ∂f ∂f ≡ + us Dt ∂t ∂s

snelheidsvector

Hydrostatische drukkracht in open waterloop, diepte d, constante dichtheid:

Formuleblad Vloeistofmechanica CTB2110 Fysische constanten zwaarteversnelling: g = 9,81 m/s2 dichtheid water: ρw = 1000 kg/m3 kinematische viscositeit water ν = 1 × 10−6 m2 /s

Kentallen Froude-getal, stroomsnelheid U , waterdiepte d: U Fr ≡ √ gd

ρU ` U` = η ν

Reynolds-getal, lengteschaal `, dynamische viscositeit η, kinematische viscositeit ν, dichtheid ρ: Re ≡

Hydrostatica Hydrostatisch evenwicht: ∂p + ρg = 0 ∂z bij constante dichtheid: p + ρgz = constant 1

Meevoering

Stroming uit reservoir via kleine opening: p Q = µA 2g ∆h,

Torricelli

uN dA

ρX uN dA

ρuuN dA

1 2 ρu uN dA 2

hHi ≡

D

P ρgQ

Dwarsprofiel gemiddelde energiehoogte:

P =

Doorgang D met oppervlak A en normaalsnelheid uN :  Z Z  1 p + ρgz + ρu2 uN dA 2

Energieoverdracht

Energie

waarin ∆h de hoogte is van het pi¨ezometrisch niveau in het bovenstroomse reservoir boven dat in de uittredende straal.

Volumestroom door doorgang D, normaalsnelheid uN : Z Q= D

D

Overdracht willekeurige grootheid X met dichtheid ρX : Z SX =

D

Bijvoorbeeld, impuls ρu: Z Simp =

D

Idem, kinetische energie: Z Skin =

Ideale-vloeistofstroming

∆Ppomp,turb = ρgQ∆Hpomp,turb   Energiedissipatie balansgebied met doorgangen D1 en D2 , stationair: ∂H =0 ∆Pdiss = ρgQ∆ hHi = ρgQ (hHi1 − hHi2 ) ∂s

Pomp, turbine:

Rechte stroomlijnen (h constant binnen dwarsprofiel), gem. stroomsnelheid U : Euler-vergelijkingen U2 Bewegingsvergelijkingen in termen van hoogte pi¨ezometrisch niveau h = hHi = h +β 2g z + p/ρg (natuurlijk assenstelsel): R   waarin β = D u3 dA/U 3 A ≈ 1 ∂us ∂ 1 2 ∂h a = + u = −g s ∂t ∂s 2 ∂s Energiebalans ∂un u2 ∂h an = + = −g Voor een stroombuis geldt (stationair, geen toevoeging/onttrekking van ∂t R ∂n energie): ∂ub ∂h = −g ∂t ∂b P = ρgQ hHi = constant ab =

Bernoulli u2 u2 p + s = h + s = constant langs stroomlijn ρg 2g 2g

Stationaire ideale-vloeistofstroming: H =z+

Drukverschil  1 2 −2 ρQ A2 − A1−2 2

Geleidelijke vernauwing (bijv. Venturi-meter), dynamische druk p; p1 − p2 = ∆p =

Impuls

 p + ρu2 eN dA

Impulsoverdracht

D

Doorgang D met normaalvector eN : Z Z F=

R

D

u2 dA/U 2 A ≈ 1

p dA + αρU 2 A

Idem, doorgang met oppervlak A, evenwijdige stroomlijnen en gemiddelde snelheid U : Z Z F = waarin α = D

Impulsbalans

Daling energieniveau: 2

H1 − H2 = ∆Hv = (U1 − U2 ) /2g



1 −1 µ

2

U2 2g



1 −1 µ

2

U2 2g

Vertragingsverlies na lokale vernauwing, contractie µ: ∆Hv =

1 ⇒ ∆Hv = 2

Buisje van Borda (intreeverlies): µ=

U2 2g

Uittreeverlies (Carnot met U2 = 0): ∆Hv =

Snel vari¨ erend vrij oppervlak

H = zb + d + β

U2 2g Specifieke energiehoogte: E = H − zb = d + β

U2 2g

Diepte-gemiddelde energiehoogte (vormfactor β):

Energiehoogte

Kracht vloeistof op zijdelingse begrenzing stroombuis, doorgangen D1 en Bodemhoogte zb , diepte d, specifiek debiet q, diepte-gemiddelde snelheid U = q/d, rechte stroomlijnen. D2 , zwaartekracht Fg , stationaire stroming: K = Fg + F 1 + F2 Horizontale kracht op begrenzing balansgebied, verticale doorgangen D1 en D2 , stationaire stroming: KH = F1 − F2 = ∆F

Lokaal vertragingsverlies Carnot (abrubte verwijding van diameter D1 tot D2 in pijpstroming) Stijging pi¨ezometrisch niveau: h2 − h1 = ∆h = U2 (U1 − U2 ) /g

g

d1

+ d d2 2 2 d1

p 2 gdk = m Ek 3

Volkomen afvoer q = m dk

r

afvoer te bepalen via tw´e´e metingen (bijv. dk `en Ek )

q = m dk

Onvolkomen afvoer p 2g (Ek − dk )

afvoer te bepalen via ´e´en meting (bijv. dk ` of Ek )

2 gEk 3

(1) Diepte op kruin dk , specifieke energiehoogte op kruin Ek , afvoerco¨effici¨ent m.

Overlaten

c=

Idem, lage storing (d1 ≈ d2 = d): p gd

c=

Voortplantingssnelheid: r

Lopende watersprong

Dissipatie in sprong (via energiebalans):    q 2 −2 Pdiss = ρgq d1 − d2 + d − d2−2 2g 1

p.e.v. breedte

Stationaire watersprong

2 Eg 3

1 q2 1 q2 gd2 + = gd22 + 2 1 d1 2 d2

Impuls- en energieoverdracht

p.e.v. breedte

Gelijke impulsoverdracht overgang d1 - d2 (super- naar subkritisch):

1 ρgd2 + αρqU 2

1/3 =

p.e.v. breedte

Impulsoverdracht (vormfactor α): F =

p.e.v. breedte

Energieoverdracht: P = ρgqH

Kritische stroming Froude-getal F r: U F r = √ = 1 ⇒ U 2 = gd ⇒ q 2 = gd3 gd

gd 3 U2 =d+ = d 2g 2g 2

Specifieke energiehoogte: E =d+



q2 g

Grensdiepte (kritische diepte): dg =

Onderspuier

q2 q2 = d2 + 2gd12 2gd22

p.e.v. breedte

Gelijke energiehoogte, overgang d1 - d2 (sub- naar superkritisch): d1 +

  1 ρg d12 − d22 + ρq 2 d1−1 − d2−1 2

Kracht op schuif (via impulsbalans): K=

Weerstand omstroomd voorwerp 1 2 ρU 2

Stuwdruk, aanstroomsnelheid U : ∆pd = Sleepkracht, aangestroomd oppervlak A: 1 Fw = cw ρU 2 A 2 waarin cw de weerstandsco¨effici¨ent is. Voorbeeld bol: 24 24ν Re < 1 : cw = = UD Re 103 < Re < 2 × 105 : cw ≈ 0, 4 Energiedissipatie omstroomd voorwerp: ∆Pdiss

f ρU 2 8

Definitie weerstandsfactor:

f U2 8 gR

τ0 = cf ρU 2 =

iw =

geeft:

en

L U2 ∆Hw = iw L = f (Darcy-Weisbach) D 2g  k waarin f = f Re, D , zie diagram of onderstaande vergelijkingen Poiseuille Re < ca. 2300, laminair: 64 Re waarin Re = ρU D/η = U D/ν

f=

Wandwrijving eenparige stroom

White-Colebrook

1 = Fw U = cw ρU 3 A 2

Buisstroming



gRiw =

1 2



gDiw .

Doorstroomd oppervlak A, weerstand leverende omtrek P , schuifspanning, gemiddeld over P , is hτ0 i, hydraulische straal R = A/P , turbulente hoofdstroom (Re = U R/ν > ca. 600). Open waterlopen: iw = ib

Willekeurig dwarsprofiel

waarin δ = 11, 6ν/u? , Re? = u? k/ν en u? =

Diameter D = 2r0 , hydraulische straal R = D/4, ruwheid k, kinematische Re > ca. 4000, turbulent: viscositeit ν, gemiddelde snelheid U = Q/A, wandschuifspanning τ0 .   1 k 2, 5 3, 7D 3, 7D √ = −2 log 0, 27 + √ = 2 log = 2 log D Re f k (1 + 3, 3/Re? ) k + δ/3, 5 f Algemeen

Evenwicht schuifkracht - netto drukkracht:

ρg∆hA = ρgiw R LP

τ0 LP = ∆pA = ρg∆hA zodat τ0 =

Algemeen Algemeen:

B´ elanger

1/3

gRiw .

s − s0 L

waarin

1 4 d − dg3 d + cf dg3 s = constant 4

Horizontale bodem:

∆d = ∆d0 exp

(d 6= dg

L=

en ib > 0)

1 − ib /cf de 3ib

Kleine afwijkingen van de eenparige toestand:  

Oplossingen

ib − cf q 2 /gd3 dd d3 − de3 = = ib 3 ds 1 − αq 2 /gd3 d − dg3

Tweedimensionale stroom (breedte en diepte constant in dwarsprofiel):

dd ib − iw ib − cf Q2 P/gA3 = = ds 1 − F r2 1 − αQ2 B/gA3

Evenwicht schuifkracht - netto drukkracht (eenparige stroom):

gRiw /cf

hτ0 i = cf ρU 2 = ρu?2 = ρgRiw q

U= U2 ∆Hw = iw L = cf L gR White-Colebrook Gegeneraliseerde co¨efici¨enten voor willekeurige sprofielvorm:





R k

1/6

12R U U 1 12R = 5, 75 log =√ = √ = 5, 75 log cf k (1 + 3, 3/Re? ) k + δ/3, 5 gRiw

u? waarin δ = 11, 6ν/u? , Re? = u? k/ν en u? = Hydraulisch ruw: U U 1 12R =√ = √ = 5, 75 log ≈ 8, 3 u? cf k gRiw

Verhanglijnen Tweedimensionale stroom, breedte en diepte constant in dwarsprofiel

Eenparige stroom



cf q 2 ib g

Evenwichtsdiepte (ib = iw ): de =

Grensdiepte: zie (1)

Vraagstuk I (haaienbassin) I.11 De totale opwaartse kracht kan bepaald worden met de wet van Archimedes: Fver = ρwater gV = 2 ρgπ D4 L = 1000 ∗ 9.81 ∗ pi ∗ 42 /4 ∗ 30 = 3.7 ∗ 106 N of Fver = 3.7 MN.

I.21 De horizontale drukkracht wordt bepaald door een balansgebied te kiezen, zoals aangegeven in de figuur. De horizontale drukkracht over AC is dan gelijk aan de drukkracht over A’C’. De drukkracht kan dan bepaald worden met Fhor = ρg 12 (dA + dC ) L (z  C − zA ) = 1000 ∗ 9.81 ∗ 0.5 ∗ (2 + 6) ∗ 30 ∗ 4 = 4.7 MN. Een andere methode is: Fhor = 21 ρgd2A − 12 ρgd2C L. I.31 Na een uur is er 3 m3 naar binnen gestroomd. Het debiet is daarmee: Q = 3/3600 = 0.000833 √ m3 /s. Om de netto doorsnede van het gat te bepalen kunnen we Torricelli toepassen: Q = µA 2g∆h, Q met h de waterdiepte boven C en effectieve doorsnede µA = √2g∆h = √0.000833 = 1.33 cm2 . 2∗9.81∗2 I.41 Bepaling van de leeglooptijd start met de balansvergelijking voor massa: dm dt = −ρwater Q (let op minteken). De massa neemt af als gevolg van het uitstroomdebiet Q. Voor constante dichtheid valt de dichtheid weg, waardoor een volumebalans aangenomen mag worden. Bovendien zijn de zijwanden verticaal, zodat geldt: B 2 dh dt = −Q. Het debiet Q hangt af van de waterstand in het bassin. De referentiepositie is gelijk gekozen aan de uitstroming. Het debiet √ √ kan daarmee geschreven worden als: µA 2g∆h. Invullen in de balansvergelijking geeft: B 2 dh = −µA 2g∆h. Om de leeglooptijd te bepalen dt R B2 1 R √ √ wordt deze vergelijking ge¨ıntegreerd: dh = − dt. De op te lossen vergelijking voor de µA 2g h Rh Rt 2 periode t = 0 tot t = t1 , met h(t = 0) = h0 en h(t = t1 ) = 0 is daarmee: h01 µAB√2g √1h dh = − t01 dt. De q 2h0 B2 leeglooptijd wordt: tleegloop = t1 − t0 = µA g . uit I.51 (i) De waterstand verloopt niet lineair met de tijd, aangezien de uitstroomsnelheid afneemt met de waterstand in het bassin. Dit volgt direct uit de gegeven vergelijking. De tijd die nodig is om de laatste helft van het volume weg te laten stromen vergt √12 van de totale leeglooptijd. De eerste helft gaat daarmee in (1 − √12 )tleegloop . (ii) De loopbrug verkleint het totale volume. De leeglooptijd zal daarmee korter zijn. De daling in waterstand dan het oppervlak niet gelijk is aan B 2 .

dh dt

zal alleen verschillend zijn tussen zC en zA , aangezien

Vraagstuk II (strandsuppletie) II.11 Voor hydraulisch gladde condities zijn de oneffenheden klein ten opzichte van de dikte van de laminaire sublaag. De laminaire sublaag bepaalt daarmee de Darcy-Weisbach ruwheidsco¨effici¨ent f en daarmee de wandwrijving. In het geval van hydraulisch ruwe condities is de laminaire sublaag klein ten opzichte van de ruwheidselementen. De ruwheid van de wand bepaalt de wandwrijving. II.21 In het midden van de pijp is de schuifspanning gelijk aan nul, aangezien de dwarsgradi¨ent van de f 2 stroming daar nul is du dy = 0. Aan de wand is de wandschuifspanning gelijk aan τwand = 8 ρU , met U de gemiddelde snelheid. De ruwheidsco¨ effici¨ent kan bepaald worden op basis van de ruwheidshoogte ks =  1mm: √1f = −2 log 0.27 kDs . De ruwheidshoogte wordt dan: f = 0.207. De gemiddelde stroomsnelheid is U = πDQ2 /4 = 1.99m/s. De wandwrijving wordt daarmee: τwand = f8 ρU 2 = 0.0207/8 ∗ 1100 ∗ 1.982 = 11.2Pa. Tussen het midden van de pijp en de wand verloopt de schuifspanning lineair. II.31,5 De uitstroomhoogte is gedefinieerd als z = 0. Aangezien de druk daar nul is, geldt ook 2 hB = 0. De energiehoogte is HB = hB + U2g = 0 + 0.20 = 0.20m. Over de pijp treedt energieverlies op: 2

2

500 1.98 L U ∆H = f D 2g = 0.02 0.8 2∗9.81 = 2.50m. Dit geeft: hA = 2.50m en HA = 2.70m.

II.41 In de situatie met spuitstuk wordt de snelheid bij de uitstroming U = 2

Q 2 πDspuit /4

= 7.9m/s. De

2

7.9 snelheidshoogte wordt daarmee: U2g = 2∗9.81 = 3.2m. In de oude situatie was de snelheidshoogte 0.2m. De extra te overwinnen energiehoogte wordt daarmee: ∆H = 3.2 − 0.2 = 3.0m. Het extra vermogen dat geleverd moet worden is daarmee: ∆P = ρgQ∆H = 1100 ∗ 9.81 ∗ 1 ∗ 3 = 32.3 kW.

II.51,5 Bekend zijn het debiet (Q), de diameters van de openingen (D1 en D2 ) en de druk op bij de uitstroming (p = 0, atmosferische druk). Een krachtenbalans kan opgesteld worden ΣF = Fspuit +F1 +F2 . Om deze krachten uit te rekenen moeten de snelheden en de drukken op doorsnede 1 (vlak voor het spuitstuk) en doorsnede 2 (vlak na het spuitstuk) bepaald worden. Er geldt voor de versnellende stroming dat het energieniveau uniform is H1 = H2 . Ook geldt de massabalans Q1 = Q2 . Voor de uitstroomzijde U2 7.92 kunnen we daarmee de variabelen berekenen: H2 = h2 + 2g2 = 0 + 2∗9.81 = 3.2m en F2 = −ρ ∗ Q ∗ U2 + p ∗ A = 1100 ∗ 1 ∗ 7.9 + 0 = −8.69kN. Voor de linkerzijde geldt: H = H = 3.2m. De druk in doorsnede 1 1 2   U12 wordt daarmee: p1 = ρg H1 − 2g = 1100 ∗ 9.81 ∗ (3.2 − 0.2) = 32.37 kPa. De kracht aan de linkerzijde wordt daarmee: F1 = p1 A + ρQU1 = 32.37 103 ∗ π ∗ 0.42 + 1100 ∗ 1 ∗ 1.98 = 16.2 103 + 2.2 103 = 18.45 kN. Het verschil in krachten moet geleverd worden om het spuitstuk vast te houden wordt daarmee: Fspuit = −F1 − F2 = −18.45 + 8.69 = −9.8 kN en is daarmee naar links gericht (tegen de stroming in).

Vraagstuk III III.1 Het antwoord dient de volgende elementen te bevatten: • Boven een lange overlaat zijn de stroomlijnen recht en is de drukverdeling hydrostatisch, de stroomsnelheid is dan vrijwel constant over de diepte. Bij een korte overlaat zijn de stroomlijnen gekromd, de drukverdeling is niet-hydrostatisch en de stroomsnelheid varieert over de diepte, neemt daarbij toe in de richting van de kruin. Afvoerco¨effici¨ent is hierdoor groter dan 1 [ 41 ].

• Onvolkomen wil zeggen dat de afvoer gestuwd is, benedenstroomse veranderingen van de waterstand zijn merkbaar bovenstrooms van de overlaat. De stroming boven de overlaat is subkritisch. Bij een volkomen overlaat zijn benedenstroomse veranderingen van de waterstand niet merkbaar aan de bovenstroomse zijde. De stroming op de overlaat is kritisch [ 41 ]. √ • Bij een volkomen overlaat is de stroomsnelheid boven de kruin gelijk aan gdk (kritische stroming). Vanwege de kromming van de stroomlijnen is de afvoerco¨effici¨ent groter dan 1 [ 41 ]. Bij een onvolkomen overlaat is de stroming op de kruin subkritisch, en is de stroomsnelheid kleiner dan √ gdk . Bovendien is de afvoerco¨effici¨ent kleiner dan bij een volkomen overlaat. Dit alles resulteert, bij gelijke diepte, voor de lange onvolkomen overlaat in een kleiner debiet dan bij de korte volkomen overlaat [ 14 ]. √ III.2 De afvoer over een volkomen overlaat is gegeven door ∆Q = m b dk gdk . Invullen van het gegeven debiet, ∆Q, de afvoerco¨effici¨ent en de breedte geeft nu dk = 0,62 m [ 12 ]. De overlaat is volkomen, dk is gelijk aan de grensdiepte zodat de specifieke energiehoogte boven de kruin Ek = 32 dk = 0,93 m [ 14 ]. Omdat snelheidshoogte-effecten in de rivier verwaarloosbaar klein zijn geldt voor de waterstand h in de rivier, gemeten ten opzichte van de kruin, h = Ek = 0,93 m [ 41 ]. III.3 Het antwoord dient de volgende elementen te bevatten: • De stroming is stationair, verandert niet in de tijd. Het debiet Q is constant in tijd `en plaats [ 14 ]. • De diepte varieert slechts geleidelijk, de stroomlijnen zijn vrijwel recht, en de drukverdeling is nagenoeg hydrostatisch. De specifieke energiehoogte is dan gegeven door Ek = d + βU 2 /2g (waarin β ≈ 1 is een correctiefactor voor niet-uniformiteit van de stroomsnelheid over de diepte) [ 14 ]. • De energiehoogte varieert (in stroomrichting) uitsluitend onder invloed van de wandweerstand [ 14 ]. • Tegenvoorbeeld: lokale (vertragings)verliezen rondom kunstwerken of onder invloed van sterke variaties van het vrij oppervlak (bijvoorbeeld watersprong) worden niet door de theorie beschreven en moeten door middel van zogenaamde overgangsvoorwaarden verdisconteerd worden [ 41 ]. III.4 Bovenstrooms van het inlaatpunt is het debiet groter dan benedenstrooms ervan. Vanwege de constante breedte van de rivier geldt hetzelfde voor de respectievelijke specifieke debieten, en is bovenstrooms van de inlaat de evenwichtsdiepte groter dan benedenstrooms [ 14 ]. Omdat de invloed van benedenstroomse randvoorwaarden niet merkbaar is bij de inlaat is de diepte ter plaatse van de inlaat gelijk aan de evenwichtsdiepte van het benedenstroomse traject [ 14 ]. Hierdoor stelt zich langs het bovenstroomse traject een M2 -type verhanglijn in (cf > ib dus mild slope). Zie figuur [ 14 ]. De berekening van de waterdiepte in P verloopt als volgt. • Bereken eerst de evenwichtsdiepte in, respectievelijk, het boven- en benedenstroomse traject via 1/3 de = (cf /ib )q 2 /g . Met q0 = Q0 /B = 5.88 m2 /s en q1 = (Q0 − ∆Q) /B = 5.41 m2 /s geeft dit, respectievelijk, de,0 = 3,61 m en de,1 = 3,41 m [ 14 ]. • De aanpassingslengte vanhet bovenstroomse traject, waar de verhanglijn zich voordoet, is gegeven  −1 door L = de,0 ib − c−1 /3 = 3710 m [ 14 ]. f • De waterdiepte in punt P volgt nu uit: dP = de,0 + (de,1 − de,0 ) exp ((s − s0 )/L), waarin s − s0 = -5000 m. Dit geeft tenslotte dP = 3,56 m [ 14 ]. III.5 Het onttrokken debiet ∆Q0 is via de afvoerrelatie voor de volkomen overlaat bepaald door de lokale waterdiepte bij de inlaat, welke gelijk is aan de evenwichtsdiepte in het benedenstroomse traject [ 14 ]. Deze evenwichtsdiepte is echter afhankelijk van het debiet benedenstrooms van de inlaat, en daarmee ook van ∆Q0 [ 14 ]. Een en ander leidt tot de volgende set vergelijkingen: 1. benedenstroomse evenwichtsdiepte: de,1 = 2. waarin q1 =

Q0 −∆Q0 B



√ = q0 − m Bb dk gdk [ 14 ]

cf q12 ib g

1/3

[ 41 ]

3. waarin de diepte op de kruin dk = 23 Ek = opzichte van de lokale rivierbodem [ 41 ]

2 3

(de,1 − ak ), hierin is ak de hoogte van de kruin ten

Dit stelsel kan worden opgelost door de uitdrukking voor de evenwichtsdiepte (1) te substitueren in de vergelijking voor de diepte op de kruin (3) en deze vervolgens te substitueren in de vergelijking voor het debiet q1 (2). Na oplossen van deze vergelijking is via (2) het onttrokken debiet bekend. (Andere strategie¨en zijn ook mogelijk, bijvoorbeeld q1 elimineren uit (1) via invullen van (2) geeft een vergelijking voor de,1 . Iteratief: eerste schatting q1 = q0 , bereken vervolgens de,1 , hieruit volgt via (2) en (3) de waarde van ∆Q0 waarmee de schatting voor q1 verbeterd kan worden, enz.) [ 41 ] (In dit geval met Q0 = 200 m3 /s is het antwoord uitermate eenvoudig. De evenwichtsdiepte de,0 is in deze situatie 1,78 m terwijl de kruinhoogte ak = 2,68[m] (dit volgt uit het antwoord van vraag III.2). Er stroomt dus geen water over de overlaat, ∆Q0 = 0 en de,1 = de,0 = 1,78 m.)

Vraagstuk IV IV.1 De versnelling van een waterdeeltje is gegeven door de meebewegende (of materi¨ele) afgeleide D~u/Dt = ∂~u/∂t + us ∂~u/∂s [ 12 ]. In een stationaire stroming is de tijdsafgeleide gelijk aan nul en resteert alleen de tweede term [ 14 ]. De snelheidsveranderingen (versnellingen) van een deeltje dat de kering passeert zijn daarom vrijwel uitsluitend het gevolg van de verplaatsing van het deeltje door een ruimtelijk vari¨erend snelheidsveld [ 14 ]. IV.2 Gebruik de energievergelijking: H0 = Hk [ 14 ] geeft (gebruik de bodem rondom de kering als referentievlak): d0 + q 2 /2gd20 = ak + dk + q 2 /2gd2k [ 21 ]. Met de gegeven waarden voor d0 , dk en ak volgt hieruit (iteratief of grafisch, kies de subkritische oplossing) q = 32,2 m2 /s [ 41 ]. IV.3 De impulsvergelijking voor een balansgebied tussen de kruin en doorgang 1 achter de kering luidt: Fk + KH,CD = F1 [ 14 ]. Met gebruikmaking van de uitdrukking voor de impulsoverdracht in een verticale doorgang en de gegeven uitdrukking voor de horizontale kracht op deel CD volgt hieruit (op een constante factor ρ na): 21 gd2k + q 2 /dk + 21 ak (dk + d1 ) = 12 gd21 + q 2 /d1 [ 21 ]. Dit is een vergelijking met d1 als enige onbekende, met als (subkritische) oplossing d1 = 9.93 m [ 41 ]. IV.4 Uit het turbinevermogen volgt de stroomsnelheid UB op de kruin van de overlaat aan de aanstroomzijde van de turbines (doorgang B): ∆Pt = cw A 12 ρUB3 = 0,2 MW met A = 41 πD2 geeft UB = 2,96 m/s [ 14 ]. Om vervolgens het specifieke debiet q te berekenen gebruiken we de energievergelijking tussen doorgang 0 en doorgang B: H0 = HB , oftewel, d0 + q 2 /2gd20 = ak + dB + UB2 /2g [ 41 ]. Via q = dB UB werken we dit om tot d0 + q 2 /2gd20 = ak + q/UB + UB2 /2g [ 41 ]. Na invullen van d0 , ak en de zojuist gevonden waarde van UB geeft dit q = 20,0 m2 /s [ 41 ]. (De bijbehorende waterdiepte dB = 6,76 m.) IV.5 Gebruik de energiebalans voor het balansgebied tussen de doorgangen B en C: ρgqHB − ∆pt = ρgqHC ; hierin is ∆pt het door de turbines onttrokken vermogen per eenheid van breedte [ 21 ]. Dit vermogen is gelijk aan het vermogen per turbine gedeeld door de hart op hart afstand van de turbines: ∆pt = 25 kW/m [ 12 ]. Het linkerlid van de impulsvergelijking is hiermee volledig bepaald. Met de kruinhoogte  als referentieniveau geeft dit ρgq dB + ρq 2 /2gd2B = 1421,4 kW/m waaruit voor de diepte in doorgang C volgt (subkritische oplossing) dB = 6.61 m [ 21 ]. (Een aanpak via een impulsbalans tussen en B en C met de horizontale kracht op de turbine gegeven door FH,t = cw A 12 ρUB2 is ook mogelijk.)

Faculteit Civiele Techniek and Geowetenschappen Schriftelijk tentamen

CTB2110

Vloeistofmechanica Totaal aantal pagina’s

6

Datum en tijd

07-11-2017

Verantwoordelijke docent

Bram van Prooijen

pagina’s van 13:30 - 16.30

uur

Alleen het op tentamenpapier geschreven werk / antwoord wordt beoordeeld, tenzij onder ‘aanvullende informatie’ anders is aangegeven. Tentamenvragen (in te vullen door examinator) Totaal aantal vragen: 4

(waarvan 4

open vragen en 0

multiple-choice vragen)

Max. te behalen punten: 22,5 alle vragen tellen even zwaar ✔ vragen hebben verschillende weging (gewicht staat per vraag vermeld of wordt in overzicht gegeven.) Gebruik hulpmiddelen en informatiebronnen tijdens tentamen (in te vullen door examinator) Niet toegestaan: • •

Smartphone of apparaat met vergelijkbare functies. Antwoord geschreven met potlood.



Hulpmiddelen en/of informatiebronnen tenzij hieronder anders vermeld.

Toegestaan: boeken

aantekeningen

woordenboeken

dictaten

formulebladen (zie ook onder ‘Aanvullende informatie’)

✔ rekenmachines

computers

✔ Op tentamen uitgereikt formuleblad.

Aanvullende informatie

Ieder vraagstuk dient op een afzonderlijk antwoordformulier ingeleverd te worden! Bij de beoordeling van het examenwerk zal voornamelijk worden gelet op een goede systematische aanpak en een juiste toepassing van de theorie. Indien bij de uitwerkingen aannames worden gedaan, dan moeten deze duidelijk worden vermeld. Geef waar nodig een beknopt commentaar. Wanneer het antwoord op een subvraag in vervolgvragen nodig is, maar niet kan worden berekend, neem dan een plausibele waarde daarvoor aan in de beantwoording van de vervolgvragen. Getalsmatige grootheden moeten, in ieder geval in de eindantwoorden, van de juiste eenheden worden voorzien. Uiterlijke datum nakijken tentamen: 29-11-2017

(in te vullen door examinator)

(de uiterlijke nakijktermijn bedraagt 15 werkdagen)

Elk vermoeden van fraude wordt

!

Mobiel UIT

gemeld bij de Examencommissie

Vraagstuk I (boogbrug) In Yorkshire staan robuuste boogbruggen. Helaas is gebleken dat bij de overstromingen eind 2015 enkele bruggen zijn bezweken. In deze opgave beschouwen we de krachten die tijdens hoogwater op de brug worden uitgeoefend. We schematiseren de brug zoals aangegeven in onderstaande figuur. Het gekromde deel A-B vormt een deel van een cirkel met een straal van 6m. De lengte van de brug in stroomrichting (y-richting) bedraagt 9m.

Aanvankelijk gaan we uit van stilstaand water met een waterstand van 10m ten opzichte van het in de figuur aangegeven referentieniveau. I.11 Bereken de horizontale component van de drukkracht van het water op brugdeel A-B-C. I.21 Bereken de verticale component van de drukkracht van het water op brugdeel A-B-C. We beschouwen nu de situatie dat het water onder de brug stroomt. Vanwege de symmetrie van de brug volstaat het de berekeningen uit te voeren voor het repeterende deel: G-D-E-F. Direct achter de brug (doorsnede II in onderstaande figuur) wordt een waterdiepte van 9,6 m gemeten. Ook wordt een uniforme stroomsnelheid door de gehele opening (A-B-C-G) gemeten van 2,5 m/s.

I.31.5

Bereken het verschil in energiehoogte tussen de doorgangen II en III.

I.41.5 Bereken de netto horizontale kracht op brugdeel A-B-C-D-E-F, werkende in de stroomrichting. Neem daarbij aan dat er onder het brugdeel geen contractie van stroomlijnen optreedt. Hint: bereken eerst de waterdiepte in doorgang I. In werkelijkheid mag contractie onder het brugdeel niet verwaarloosd worden. I.51 (a) Geef een verklaring voor het verschijnsel contractie. (b) Beredeneer vervolgens of de netto horizontale kracht, die in stroomrichting werkt, kleiner, gelijk of groter is dan voor de situatie zonder contractie.

Vraagstuk II (stuwmeer) Een stuwdam wordt in een rivier geplaatst waardoor een stuwmeer ontstaat. Ter schematisatie wordt de breedte van het stuwmeer uniform verondersteld met B = 2000m. De helling van de bodem is uniform en gelijk aan ib = 10−3 . De uitstroomopeningen liggen op een hoogte van z = 0 en hebben een netto doorstroomoppervlakte µA = 40 m2 . Het waterniveau h in het stuwmeer is uniform en bedraagt maximaal 12 m.

II.11 Bereken hoe groot het debiet Q maximaal mag zijn opdat de maximum waterstand in het stuwmeer niet wordt overschreden. In een periode van droogte reduceert het bovenstroomse debiet abrupt tot nul. De uitstroomopeningen blijven echter open staan. II.21.5

Laat zien dat in deze situatie de waterstand daalt volgens de vergelijking: µAib p dh 2gh =− dt Bh

II.31.5 Bepaal de leeglooptijd van het stuwmeer, uitgaande van een initi¨ele waterstand van 12m. Na de periode van droogte zal er weer een inkomend debiet Q zijn. II.41 Herschrijf bovenstaande differentiaalvergelijking zodanig dat de invloed van het debiet Q op de waterstandsvariatie in het stuwmeer correct wordt weergegeven.

Vraagstuk III (irrigatiekanaal) Een landbouwgebied wordt gevoed met water uit een groot reservoir. Het daartoe aangelegde irrigatiekanaal sluit op het reservoir aan via een korte volkomen overlaat over de volle breedte van het kanaal. In een deel van het kanaal kan de waterdiepte worden geregeld door middel van een in hoogte verstelbare onderspuier. We beschouwen de situatie per eenheid van breedte. Zie onderstaande figuur.

In bovenstaande (stationaire) situatie treden zowel abrupte als geleidelijke ruimtelijke veranderingen van de stroming en het vrij oppervlak op. III.11 Leg uit wat de belangrijkste fysische verschillen zijn tussen deze twee verschillende typen stroming. Het waterpeil in het reservoir ligt 75 cm boven de kruin van de overlaat. De overlaat heeft een afvoerco¨effici¨ent m van 1. Het kanaal heeft een bodemhelling ib van 1 × 10−4 en een weerstandsco¨effici¨ent cf van 0.003. III.21 Omschrijf de fysische betekenis van de begrippen ‘grensdiepte’ en ‘evenwichtsdiepte’, en bereken de bijbehorende getalswaarden voor het irrigatiekanaal. De doorstroomhoogte a van de onderspuier bedraagt 50 cm. Benedenstrooms van de onderspuier treedt daarbij een zogenaamde ‘verdronken’ watersprong op. Verderop gelegen randvoorwaarden liggen op een zodanige afstand dat deze geen invloed hebben op de waterdiepte ter plaatse van de onderspuier. III.31,5 Bereken de waterdiepte d1 aan de bovenstroomse zijde van de onderspuier, bereken daartoe eerst de waterdiepte bij het maximum contractiepunt van de onderspuier. Als je het antwoord op de vraag III.2 niet kon berekenen mag je voor de evenwichtsdiepte een waarde van 1,65 m aannemen. De afstand tussen de volkomen overlaat en de onderspuier bedraagt 4 km. III.41,5 Verifieer dat voor de bijbehorende stuwkromme de benadering voor kleine afwijkingen van de eenparige toestand opgaat, en bereken vervolgens de waterdiepte d2 in het irrigatiekanaal aan de benedenstroomse zijde van de volkomen overlaat. Men heft de onderspuier een stukje waardoor de doorstroomhoogte a iets groter wordt. III.51 Beredeneer of als gevolg hiervan de waterdiepte d2 toeneemt of afneemt. Je antwoord mag eventueel worden voorzien van een berekening, maar dat is niet voldoende, het gaat om de redenering.

Vraagstuk IV (verticale pijp) Aan de onderkant van een open bak is een verticale rechte pijp, met diameter d = 0, 06m en lengte L = 2 m, bevestigd. Hierdoor kan er water via de pijp uit de bak lopen. Vanaf het einde van de pijp bij punt C stroomt het water vrij uit en komt bij D in een open opvangbak terecht. Door de grote horizontale afmetingen van de bakken mogen de waterstanden als constant verondersteld worden. Overige gegevens: a = b = 1 m. Contractieverliezen mogen in de gehele vraag verwaarloosd worden.

In eerste instantie verwaarlozen we de wandweerstand in de pijp. IV.11

Hoe groot is het debiet door de pijp?

IV.21.5 Schets het verloop van de energiehoogte, het pi¨ezometrisch niveau en de drukhoogte langs de lijn AC in ´e´en grafiek en geef daarin duidelijk aan waar de punten A,B,C zich bevinden. Hint: teken eerst de plaatshoogte en de energiehoogte. In werkelijkheid ondervindt de stroming in de buis wandweerstand. Het debiet bedraagt Q = 0, 016 m3 /s. Alle overige gegevens blijven gelijk. IV.31.5

Bereken de Darcy-Weisbach co¨effici¨ent f van de pijp.

IV.41 Toon aan dat de hoofdstroming turbulent is. Waarom is de stroming dichtbij de wand desondanks toch laminair? We beschouwen nu de vrije straal tussen C en D. IV.51 Beredeneer of de diameter van de straal in D, vlak boven het wateroppervlak kleiner, gelijk of groter zal zijn dan de pijpdiameter.

Uitwerking tentamen Vloeistofmechanica - CTB2110, 28-01-2016

Vraagstuk I I.1 De horizontale kracht P op deel ABC kan berekend worden door een krachtenevenwicht te bepalen voor ABCG: Fhor = FAG,hor + FABC,hor = 0. Daaruit volgt: FAG,hor = −FABC,hor . De horizontale kracht op AG is: FAG,hor = B 12 ρg (d2 − (d − dAG )2 ), met waterdiepte d = 10 m, doorgangshoogte dAG = 9 m en breedte B = 9 m. De kracht van de brug op het water werkt is negatief en de kracht van het water op de brug is positief. De totale kracht wordt daarmee: FAG,hor = 9 · 21 · 1000 · 9, 81 (102 − (10 − 9)2 ) = 4, 37 MN. I.2 De verticale kracht op deel ABC kan berekend worden door een krachtenevenwicht te bepalen voor ABCG. Er zijn drie verticale krachten: de kracht op deel CG, de gevraagde kracht op ABC en de zwaartekracht van ABCG. Het krachtenevenwicht wordt daarmee: P Fver = FCG,ver + FABC,ver + GABCG = 0. Daaruit volgt: FABC,ver = −FCG,ver − GABCG . FCG,ver = pG ACG = ρgd(LCG B) = 1000 · 9.8 · 10 · 9 = 5, 29 MN en GABCG = −ρgd(AABCG B) = 1000 · 9.8 · (3 · 6 + 41 π62 ) · 9 = −4, 09 MN. De kracht van de brug werkt naar beneden en de kracht van het water op de brug is positief: FABC,ver = 1, 21 MN. I.3 Om het energieverlies te bepalen moeten de energiehoogtes in doorsneden II en III bekend zijn. In doorsnede II is deze bekend, maar in doorsnede III niet. Daartoe moet eerst een impulsbalans toegepast worden tussen II en III. In doorsnede II is de kracht: FII = ρuII Q + 21 ρgd2II bCG = 3, 90 MN, met Q = uAABCG = 115, 7 m3 /s. Let op dat we niet de breedte gemiddelde vergelijking gebruiken, aangezien de doorsnede niet uniform is. In doorsnede III is de kracht: ρuQ + 21 ρgd2II bCG . Gelijkstellen van de krachten geeft: u2

+ 12 ρgd2III bCG , waarbij alleen dIII de onbekende is. Iteratie door middel FII = ρ dIIIIII bCG  1/3 FII ·dIII −ρ·Q2 /bCG van dIII = met als beginvoorwaarde dIII = dII geeft dIII = 9.75 m. 1 ρgb 2

CG

2

Het energieniveau in beide doorsnedes kan bepaald worden met H = h + u2g en geeft HII = 9, 92 m en HII = 9, 86 m. Een energieverlies van ∆H = 0, 06 m treedt daarmee op. I.4 Om de horizontale kracht in stroomrichting te bepalen moet de kracht in doorsnede I bepaald worden: FI = ρ ∗ uI Q + 21 ρgBd2I , met B = 8 m. Daarvoor bepalen we eerst de diepte mbv de energiebalans. Hierbij nemen we aan dat er tussen I en II geen energie verloren gaat HI = HII . In werkelijkheid zal dit waarschijnlijk wel het geval zijn, maar hier nemen we aan dat geen contractie optreedt. In dit geval met de bodem op z = 0 2 2 geldt: hI = dI . Invullen van de energiebalans geeft: dI + (BdQI )2 2g = hII + u2g met dII als 2

2

enige onbekende. Iteratie van dI = − (BdQI )2 2g + hII + u2g met initi¨ele waarde dI = hII geeft dI = 9, 81m. De kracht in doorsnede I wordt daarmee FI = ρuI Q + 12 ρgBd2I = 3, 95 MN. Op vergelijkbare wijze wordt de kracht in doorsnede II bepaald: FII = 3, 91 MN. De kracht op het brugdeel is daarmee: K = FI − FII = 0, 04 MN. Merk op dat de kracht K klein is ten opzichte van de krachten FI en FII . 1

I.5 Contractie van de stroming treedt op als de stroming niet in staat is om de rondingen van de brug te volgen. Er zullen zoggen/neren ontstaan. De effectieve doorstroomopening zal daarmee kleiner worden dan de daadwerkelijke opening. Een deel van de opening zal niet stroomvoerend zijn. Doordat de effectieve doostroomopening kleiner wordt zal de snelheid onder de brug toenemen. Er zal meer energie nodig zijn om het water onder de brug door te krijgen. De energiehoogte voor de brug zal daarmee toe moeten nemen. Benedenstrooms van de brug zal niets veranderen. Daarmee zal het verval over de brug toenemen, waarbij ook de kracht op de brug zal toenemen.

Vraagstuk II √ II.1 Het debiet wordt bepaald mbv de Toricelli vergelijking: Q = µA 2gh = 613 m3 /s. √ = −Quit met het volume V = 21 B ihb h en Q = µA 2gh II.2 Stel de volumebalans op: dV dt   √ √ 1 h d h = −µA 2gh. Herschrijven geeft: ihb B dh B = −µA 2gh. Dit geeft geeft dit: dt 2 ib dt √ dh b = − µAi 2gh. dt Bh √ √ b II.3 Herschrijf de vergelijking tot: hdh = − µAi 2gdt. Op het beginpunt t = 0 is de B waterstand h√= 12 m. Aan het eind op t = ∆t is de waterstand hend = 0 m. Dit geeft: 3/2 2 3/2 b 2g∆t, oftewel: ∆t = 32 hend µAiBb √2g = 3, 62 dagen. h = µAi 3 end B II.4 Stel de volumebalans op: dV = −Quit + Qin met het volume V = 21 B ihb h en dt √ µAib √ b Q = µA 2gh. Herschrijven geeft: dh = − . Check altijd ter controle de 2gh + Qi dt Bh Bh dimensies.

Vraagstuk III III.1 In een geleidelijk vari¨erende stroming is het wateroppervlak nauwelijks gekromd, de stroomlijnen zijn nagenoeg recht en er heerst daarom en hydrostatische drukverdeling in de vertikale richting. Omdat stroomsnelheden niet abrupt veranderen treden er geen vertragingsverliezen op, energieverliezen zijn slechts het gevolg van de bodemweerstand en zijn pas over langere afstand merkbaar. Bij een abrupte vari¨erende stroming is de kromming van het wateroppervlak zo groot dat de drukverdeling niet op voorhand hydrostatisch kan worden verondersteld. Waar deze veranderingen gepaard gaan met loslating en turbulentie treden vertragingsverliezen op. Omdat de afstand waarover dergelijke aanpassingen zich voordoen per definitie klein is speelt de bodemweerstand geen rol van betekenis. III.2 Grensdiepte: de diepte in een kanaal of rivier waarvoor bij een gegeven debiet 2

de stroming kritisch is (F r = 1). De grensdiepte heerst hier op de kruin van de korte (volkomen) overlaat. Omdat hres = Ek = 32 dg = 0,75 m vinden we zo dg = 0,50 m. q (Je kunt ook eerst het specifieke debiet berekenen via q = m 32 hres g 23 hres = 1,11 m2 /s, 1/3

en dan vervolgens dg = (q 2 /g) , wat uiteraard op hetzelfde neer komt.) Evenwichtsdiepte: diepte in een kanaal of rivier waarvoor bij een gegeven debiet de stroming eenparig is; de bodemweerstand is in evenwicht met de verhangkracht. Uit deze definitie volgt: τb P = ρgAib . Via τb = ρcf U 2 volgt hieruit cf U 2 P = gAib , oftewel U 2 = gRib /cf . Voor een rechthoekig dwarsprofiel met R ≈ d volgt nu: q 2 /de 2 = gdib /cf wat kan worden omgewerkt tot d3e = (cf /ib ) q 2 /g, zodat uiteindelijk de = (cf /ib )1/3 dg . Invullen van de gegeven getalswaarden en dg , zojuist berekend, geeft tenslotte de = 1,55 m. III.3 We werken altijd van benedenstrooms in stroomopwaartse richting. De waterdiepte op korte afstand voorbij de onderspuier is gelijk aan de evenwichtsdiepte (geen invloed benedenstroomse randvoorwaarden). Noem de waterdiepte ter plaatse van de minimum doorstroomhoogte d0 . Via een impulsbalans voor het vertragingsgebied vinden we 21 ρgd20 + ρq 2 /a = 21 ρgd2e + ρq 2 /de = 12,63 kN/m. Hieruit volgt d0 = 1,44 m. De bijbehorende specifieke energiehoogte bedraagt E0 = d0 + q 2 /2gd20 = 1,69 m. Toepassen van de energievergelijking over de onderspuier geeft d1 + q 2 /2gd21 = E0 . Hieruit volgt voor de gevraagde diepte (subkritische tak van de oplossing nemen) d1 = 1,67 m. III.4 De theorie voor kleine afwijking van de eenparige toestand mag worden toegepast als de diepteverschillen die langs het traject van de stuwkromme optreden klein zijn ten opzichte van de evenwichtsdiepte. In dit geval treedt een M1 -type stuwkromme op met een maximaal diepteverschil ten opzichte van de evenwichtsdiepte van ∆dmax = d1 − de = 0,12 m, wat klein is ten opzichte van de evenwichtsdiepte zelf (∆dmax /de ≈ 8%). De bijbehorende aanpassingslengte bedraagt L = (1 − ib /cf ) de /3ib = 5006 m. De waterdiepte d2 volgt nu uit ∆d2 = ∆d1 exp ∆s/L. Met ∆d1 = d1 −de =0,12 m, en ∆s = s2 −s1 =-4000 m (let op het min-teken!) volgt nu ∆d2 = 0,06 m, en d2 = de + ∆d2 = 1,61 m. III.5 De waterdiepte benedenstrooms van de onderspuier verandert niet en blijft gelijk aan de evenwichtsdiepte de ; veranderingen doen zich alleen voor in het bovenstrooms van de onderspuier gelegen traject (flauwe bodemhelling, eenparige stroming is subkritisch, alleen benedenstroomse randvoorwaarden zijn van invloed). Het heffen van de onderspuier geeft een grotere doorstroomhoogte a en een geringere impulsoverdracht door meevoering door deze doorgang. De geringere vertraging leidt tot een afname van het energieverlies over het vertragingsgebied ten opzichte van de oorspronkelijke situatie. De energiehoogte ter plaatse van de minimum doorgang neemt dus af. De energiehoogte E1 = E0 neemt dan ook af wat bij subkritische stroming een afname van de waterdiepte betekent (denk aan de energiekromme). De opstuwing ∆d1 = d1 − de is daardoor kleiner, met een eveneens geringere waterdiepte d2 als gevolg (M1 -type stuwkromme).

3

Vraagstuk IV IV.1 Er zijn geen verliezen door wandwrijving. Daarmee is Toricelli toepasbaar: De energiehoogte in de het bovenste vat en in de buis is overal gelijk. Bij de uitstroming is de plaatshoogte gedefinieerd als zC = 0. Daar is ook de druk gelijk aan de buitensdruk, de waterdruk is daarmee gelijk aan pC = 0. Dit geeft dat het piezometrisch niveau gelijk is aan hC = 0 bij uitstroomopening C. De energiehoogte in C is gelijk aan de energiehoogte 2 in A, oftewel HC = L + a = 3 m. De energiehoogte is gelijk aan u2g = HC − hc = 3 m. Dat geeft: u = 7, 67 m/s. Het debiet is daarmee Q = u 14 πD2 = 0, 022 m3 /s. IV.2 De referentiehoogte is niet gegeven en mag (altijd) zelf gekozen worden. In dit geval is de uitstroomopening bij C gekozen als referentie, waar z = 0. Teken de plaatshoogte z. Deze lijn loopt onder een hoek van 45 graden. Teken vervolgens het energieniveau. Tussen A en C treedt geen energieverlies op aangezien wandwrijving en intreeverliezen verwaarloosd mochten worden. Het energieniveau is daarmee uniform over A-C. Het piezometrisch niveau is het verschil tussen de energiehoogte en de snelheidshoogte. In de bak is de snelheid gelijk aan nul, waardoor het piezometrisch niveau gelijk is aan de energiehoogte. Bij de uitstroming is de waterdruk gelijk aan nul en is ook de plaatp . shoogte gelijk aan nul. Daarmee is het piezometrisch niveau gelijk aan nul: h = z + ρg In de buis is de snelheid overal hetzelfde, evenals de energiehoogte. Het piezometrisch niveau is daarmee ook uniform over de buis en gelijk aan nul: h = 0. De drukhoogte kan dan bepaald worden door de plaatshoogte van hetr piezometrisch niveau af te trekken: p = h − z. Let op: de drukhoogte wordt negatief, er ontstaat daarmee onderdruk in de ρg buis.

IV.3 Het energieverlies is een gevolg van wandwrijving en uittreeverlies. Op het for2 L u2 muleblad is gegeven: dHwrijving = f D Het uittreeverlies is gelijk aan: dHuittree = u2g . 2g  2 L Daarmee wordt het totale energieverlies: dH = dHwrijving + dHuittree = f D + 1 u2g , met de Darcy Weisbach coefficient f als enige onbekende. Dit geeft f = 0, 025. IV.4 De hoofdstroming is turbulent als het Reynoldsgetal voldoende groot is: Re = uD > 4500. In dit geval vinden we Re = uD = 3.3 · 105 . Daarmee wordt ruim aan de ν ν voorwaarde voldaan. 4

Uit EFM, p337: ”The zone immediately adjacent to the wall is a layer of fluid that is essentially laminar because the presence of the wall dampens the cross-stream mixing and turbulent fluctuations.”. Zeer dicht bij de bodem worden fluctuaties loodrecht op de wand sterk gedempt. Daarmee wordt de impulsoverdracht loodrecht op de wand gedempt. Visceuze krachten kunnen zo domineren. De stroming is daarmee laminair zeer dicht bij de wand. IV.5 In de vrije straal tussen C en D zal geen energieverloren gaan HC = HD . Ook is de druk gelijk pC = pD . De plaatshoogte neemt echter af zC > zD . Omdat geldt 2 p + u2g zal de afname in plaatshoogte tussen C en D gecompenseerd dat H = z + ρg moeten worden door een toename in snelheidshoogte, en daarmee in snelheid. Oftewel: de snelheid in D is hoger dan in C. Aangezien de debieten gelijk moeten zijn, zal de doorsnede en daarmee de diameter af moeten nemen: DD < DC . Alternatieve redenering. Tussen C en D maakt het water een vrije val, onder invloed van de zwaartekrachtsversnelling. De snelheid in D zal daarmee hoger zijn dan in C en daarmee DD < DC . Vergelijk de waterstraal uit een kraan. Deze wordt ook steeds dunner.

5

Faculteit Civiele Techniek and Geowetenschappen Schriftelijk tentamen

CTB2110

Vloeistofmechanica Totaal aantal pagina’s

6

Datum en tijd

07-11-2017

Verantwoordelijke docent

Bram van Prooijen

pagina’s van 13:30 - 16.30

uur

Alleen het op tentamenpapier geschreven werk / antwoord wordt beoordeeld, tenzij onder ‘aanvullende informatie’ anders is aangegeven. Tentamenvragen (in te vullen door examinator) Totaal aantal vragen: 4

(waarvan 4

open vragen en 0

multiple-choice vragen)

Max. te behalen punten: 22,5 alle vragen tellen even zwaar ✔ vragen hebben verschillende weging (gewicht staat per vraag vermeld of wordt in overzicht gegeven.) Gebruik hulpmiddelen en informatiebronnen tijdens tentamen (in te vullen door examinator) Niet toegestaan: • •

Smartphone of apparaat met vergelijkbare functies. Antwoord geschreven met potlood.



Hulpmiddelen en/of informatiebronnen tenzij hieronder anders vermeld.

Toegestaan: boeken

aantekeningen

woordenboeken

dictaten

formulebladen (zie ook onder ‘Aanvullende informatie’)

✔ rekenmachines

computers

✔ Op tentamen uitgereikt formuleblad.

Aanvullende informatie

Ieder vraagstuk dient op een afzonderlijk antwoordformulier ingeleverd te worden! Bij de beoordeling van het examenwerk zal voornamelijk worden gelet op een goede systematische aanpak en een juiste toepassing van de theorie. Indien bij de uitwerkingen aannames worden gedaan, dan moeten deze duidelijk worden vermeld. Geef waar nodig een beknopt commentaar. Wanneer het antwoord op een subvraag in vervolgvragen nodig is, maar niet kan worden berekend, neem dan een plausibele waarde daarvoor aan in de beantwoording van de vervolgvragen. Getalsmatige grootheden moeten, in ieder geval in de eindantwoorden, van de juiste eenheden worden voorzien. Uiterlijke datum nakijken tentamen: 29-11-2017

(in te vullen door examinator)

(de uiterlijke nakijktermijn bedraagt 15 werkdagen)

Elk vermoeden van fraude wordt

!

Mobiel UIT

gemeld bij de Examencommissie

Vraagstuk I (Pomp) De waterstand in een meer wordt op peil gehouden door een pomp, die in verbinding staat met een rivier. De waterstand in het meer is gegeven door hM en in de rivier door hR . Bij een overschot aan water in het meer wordt water naar de rivier gepompt door een pompinstallatie en pijpen met een uniforme diameter D. De uiteinden van de pijpen liggen onder de respectievelijke waterniveau’s, zie onderstaande figuur.

Verwaarloos voor de deelvragen 1-3 de wandwrijving en de intreeverliezen. I.11,5 Schets het verloop van het energieniveau en het pi¨ezometrisch niveau voor het volledige horizontale deel van de pijp. Ga er van uit dat de waterstand in de rivier ruim hoger staat dan de waterstand in het meer, zie bovenstaande figuur. Geef in je schets duidelijk de waterstanden in de rivier en het meer aan. De pompinstallatie moet een debiet van 3 m3 /s kunnen verpompen. Ga uit van de volgende gegevens: D = 1.2 m, hM = 0, 5 m en hR = 2, 5 m. De horizontale pijpen en de pomp liggen 4 m boven het referentie niveau. I.21

Bereken op basis van van deze gegevens het benodigde pompvermogen.

De benodigde sterkte van de pijpen hangt af van de onderdruk in de pijp. I.31

Geef aan waar de onderdruk maximaal (=druk minimaal) is en bepaal deze waarde.

In werkelijkheid zal energieverlies optreden bij de instroming in de pijp. I.41.5 (a) Geef de fysische verklaring voor het optreden van intreeverliezen. (b) Bepaal het extra vermogen dat de pomp moet leveren om het intreeverlies te compenseren bij een debiet van 3 m3 /s. Gebruik indien nodig realistische waardes voor additionele parameters. Iemand stelt voor om de vertikale pijp aan de rivierzijde weg te halen om kosten te besparen, zie onderstaande figuur. Effecten van wandwrijving zijn nog steeds verwaarloosbaar.

I.51 Waarom leidt deze aanpassing echter tot een verlaging van de effectiviteit van de pomp? Een berekening mag, maar hoeft niet. Het gaat om de argumentatie.

Vraagstuk II (meanderende rivier) In een sterk meanderende rivier heerst een constant debiet Q. Daarbij treedt in de bochten een zogenaamd dwarsverhang op. Zie onderstaande schets van de situatie.

II.11,0 Geef een fysische verklaring voor het dwarsverhang. Betrek in je antwoord de onderscheidende parameters die de grootte van dit verhang bepalen. Het dwarsprofiel van de rivier is bij benadering rechthoeking, met een constante breedte B van 85 m. Variaties van de stroomsnelheid in dwarsrichting kunnen worden verwaarloosd. In een bepaalde bocht van de rivier wordt een waterstandsverschil van 2 cm tussen de beide oevers gemeten. Deze bocht heeft een straal van 1200 m. II.21,0

Bereken uit deze gegevens de grootte van de stroomsnelheid U in de rivier.

We beschouwen in het vervolg van dit vraagstuk de langsrichting van de rivier, gebruikmakend van de theorie voor ‘geleidelijk vari¨erende stroming’. II.31,0

Welke overwegingen en aannamen liggen ten grondslag aan deze theorie?

Het bodemverhang ib bedraagt 2 × 10−4 en de weerstandsco¨effici¨ent cf bedraagt 0.003. II.41,0 Geef de definitie van het begrip evenwichtsdiepte en bereken deze voor de gegeven situatie. Gebruik U = 1.55 m/s als je het antwoord op vraag I.2 niet kon berekenen. Om de bevaarbaarheid van de rivier te verbeteren snijdt men ´e´en van de bochten af door middel van een kortsluitgeul. De oorspronkelijke bocht wordt daarbij afgedamd en voert geen water meer af. Zie onderstaande figuur.

De kortsluitgeul heeft hetzelfde dwarsprofiel en weerstandsco¨effici¨ent als de oorspronkelijke rivier, het bodemverhang is daarentegen anderhalf keer zo groot (samenhangend met de verkorting) waarbij de bodem continu verloopt. De waterstand in aansluitpunt B wordt niet be¨ınvloed door een benedenstrooms gelegen randvoorwaarde. II.51,0

Schets het verloop van de bodem en waterstand langs het gestippelde traject.

De lengte van de kortsluitgeul (traject A-B) bedraagt 2000 m. II.61,0 Bereken de waterdiepte in aansluitpunt A, gebruikmakend van de theorie voor kleine afwijkingen van de eenparige toestand.

Vraagstuk III (weerstand in leiding) Een medewerker van een drinkwaterbedrijf analyseert een rechte ondergrondse pijpleiding met een lengte van L = 200 m en wil op indirecte wijze uitzoeken wat de diameter van de pijpleiding is en wat de ruwheid van de pijpwand is. De onderzoeker kan bij verschillende stationaire condities van ingestelde debieten de drukval over de pijpleiding meten. Veronderstel de viscositeit en dichtheid van water bekend (zie formuleblad). Neem bovendien aan dat de pijp horizontaal ligt en dat alleen de wandwrijving er toe doet. In de tabel staan de gemeten drukvallen bij de verschillende ingestelde debieten.

Q (m3 /s) 0,00000 0,00004 0,00012 0,00020 0,00028 0,00036 0,00044 0,00056 0,00068 0,00092 0,00116

∆p (N/m2 ) 0,000 3,259 9,778 16,30 22,82 102,2 152,6 247,3 364,6 667,4 1061

III.11,0 Leg uit waarom bij lage debieten de grafiek een lineair verband te zien geeft en bij hoge debieten niet. III.21,5 Bereken uit de gegevens, behorende bij het lineaire deel van de grafiek, de diameter van de buis en laat zien dat uw redering in III.1 klopte. Indien het u niet gelukt is de diameter van de buis te berekenen, neemt u voor het vervolg een waarde D = 0,08 m aan. III.31,0 Wat is de maximale wandschuifspanning die er volgens de gegevens uit de tabel geheerst heeft tijdens het experiment. III.41,5 Bereken uit de gegevens behorende bij de grootste debieten de ruwheidshoogte van de buiswand, onder de veronderstelling dat er hier sprake is van een hydraulisch ruwe wand. III.51,0 Reken uit vanaf welke grootte van het debiet de wand als hydraulisch ruw verondersteld mag worden. Laat zien dat de aanname bij onderdeel III.4 juist was.

Vraagstuk IV (korte overlaat) In een drainagekanaal met een rechthoekig dwarsprofiel en horizontale bodem bevindt zich over de volle breedte een korte overlaat met een vaste kruinhoogte. We beschouwen in dit vraagstuk de situatie per eenheid van breedte. Aanvankelijk is er sprake van gestuwde afstroming met een turbulente menglaag en een bodemneer direct achter de stuw, zie onderstaande figuur.

Ter plaatse van doorgang 2 mag een hydrostatische drukverdeling worden aangenomen. IV.11,0 Leg uit waarom deze benadering hier is toegestaan. Het specifiek debiet q bedraagt 0,30 m2 /s en de waterdiepte d3 in doorgang 3, op enige afstand benedenstrooms van de overlaat, bedraagt 0,85 m. De overlaat heeft een kruinhoogte ak van 0,65 m ten opzichte van het lokale bodemniveau. Slechts het deel van doorgang 2 boven de kruinhoogte is stroomvoerend. IV.21,5

Berekenen de waterdiepte d2 in doorgang 2.

IV.31,0 Berekenen de netto horizontale kracht KH per eenheid van breedte die door het stromende water op de overlaat wordt uitgeoefend. Men laat nu de waterstand benedenstrooms van de overlaat zakken, waarbij de waterstand bovenstrooms van de overlaat uiteindelijk niet meer verandert. Het specifiek debiet en de kruinhoogte blijven daarbij ongewijzigd. De overlaat heeft in deze situatie een afvoer-co¨effici¨ent gelijk aan 1.

IV.41,0 wordt.

Bereken de waterdiepte d1 die uiteindelijk ter plaatse van doorgang 1 bereikt

De waterdiepte d4 direct achter de overlaat (zie figuur) bedraagt 0,50 m. De overstortende straal van de overlaat heeft een breedte b van 0,10 m en maakt een hoek α van 45◦ met het horizontale vlak, zie bovenstaande figuur. IV.51,5 Bereken voor bovenstaande situatie de waterdiepte d3 in doorgang 3 op enige afstand benedenstrooms van de overlaat.

Fp =

1 ρgd2 2

p.e.v. breedte

p − pa ρg

Pi¨ezometrisch niveau, atmosferische druk pa : h≡z+

grootheid f ,

Hydrostatisch evenwicht, ρg en pa constant: h = constant

Kinematica Versnelling van een deeltje Meebewegende (materi¨ele) afgeleide, T (ux , uy , uz ) : ∂f ∂f ∂f ∂f Df ≡ + ux + uy + uz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z In natuurlijk (s, n, b) assenstelsel: Df ∂f ∂f ≡ + us Dt ∂t ∂s

snelheidsvector

Hydrostatische drukkracht in open waterloop, diepte d, constante dichtheid:

Formuleblad Vloeistofmechanica CTB2110 Fysische constanten zwaarteversnelling: g = 9,81 m/s2 dichtheid water: ρw = 1000 kg/m3 kinematische viscositeit water ν = 1 × 10−6 m2 /s

Kentallen Froude-getal, stroomsnelheid U , waterdiepte d: U Fr ≡ √ gd

ρU ` U` = η ν

Reynolds-getal, lengteschaal `, dynamische viscositeit η, kinematische viscositeit ν, dichtheid ρ: Re ≡

Hydrostatica Hydrostatisch evenwicht: ∂p + ρg = 0 ∂z bij constante dichtheid: p + ρgz = constant 1

Meevoering

Stroming uit reservoir via kleine opening: p Q = µA 2g ∆h,

Torricelli

uN dA

ρX uN dA

ρuuN dA

1 2 ρu uN dA 2

hHi ≡

D

P ρgQ

Dwarsprofiel gemiddelde energiehoogte:

P =

Doorgang D met oppervlak A en normaalsnelheid uN :  Z Z  1 p + ρgz + ρu2 uN dA 2

Energieoverdracht

Energie

waarin ∆h de hoogte is van het pi¨ezometrisch niveau in het bovenstroomse reservoir boven dat in de uittredende straal.

Volumestroom door doorgang D, normaalsnelheid uN : Z Q= D

D

Overdracht willekeurige grootheid X met dichtheid ρX : Z SX =

D

Bijvoorbeeld, impuls ρu: Z Simp =

D

Idem, kinetische energie: Z Skin =

Ideale-vloeistofstroming

∆Ppomp,turb = ρgQ∆Hpomp,turb   Energiedissipatie balansgebied met doorgangen D1 en D2 , stationair: ∂H =0 ∆Pdiss = ρgQ∆ hHi = ρgQ (hHi1 − hHi2 ) ∂s

Pomp, turbine:

Rechte stroomlijnen (h constant binnen dwarsprofiel), gem. stroomsnelheid U : Euler-vergelijkingen U2 Bewegingsvergelijkingen in termen van hoogte pi¨ezometrisch niveau h = hHi = h +β 2g z + p/ρg (natuurlijk assenstelsel): R   waarin β = D u3 dA/U 3 A ≈ 1 ∂us ∂ 1 2 ∂h a = + u = −g s ∂t ∂s 2 ∂s Energiebalans ∂un u2 ∂h an = + = −g Voor een stroombuis geldt (stationair, geen toevoeging/onttrekking van ∂t R ∂n energie): ∂ub ∂h = −g ∂t ∂b P = ρgQ hHi = constant ab =

Bernoulli u2 u2 p + s = h + s = constant langs stroomlijn ρg 2g 2g

Stationaire ideale-vloeistofstroming: H =z+

Drukverschil  1 2 −2 ρQ A2 − A1−2 2

Geleidelijke vernauwing (bijv. Venturi-meter), dynamische druk p; p1 − p2 = ∆p =

Impuls

 p + ρu2 eN dA

Impulsoverdracht

D

Doorgang D met normaalvector eN : Z Z F=

R

D

u2 dA/U 2 A ≈ 1

p dA + αρU 2 A

Idem, doorgang met oppervlak A, evenwijdige stroomlijnen en gemiddelde snelheid U : Z Z F = waarin α = D

Impulsbalans

Daling energieniveau: 2

H1 − H2 = ∆Hv = (U1 − U2 ) /2g



1 −1 µ

2

U2 2g



1 −1 µ

2

U2 2g

Vertragingsverlies na lokale vernauwing, contractie µ: ∆Hv =

1 ⇒ ∆Hv = 2

Buisje van Borda (intreeverlies): µ=

U2 2g

Uittreeverlies (Carnot met U2 = 0): ∆Hv =

Snel vari¨ erend vrij oppervlak

H = zb + d + β

U2 2g Specifieke energiehoogte: E = H − zb = d + β

U2 2g

Diepte-gemiddelde energiehoogte (vormfactor β):

Energiehoogte

Kracht vloeistof op zijdelingse begrenzing stroombuis, doorgangen D1 en Bodemhoogte zb , diepte d, specifiek debiet q, diepte-gemiddelde snelheid U = q/d, rechte stroomlijnen. D2 , zwaartekracht Fg , stationaire stroming: K = Fg + F 1 + F2 Horizontale kracht op begrenzing balansgebied, verticale doorgangen D1 en D2 , stationaire stroming: KH = F1 − F2 = ∆F

Lokaal vertragingsverlies Carnot (abrubte verwijding van diameter D1 tot D2 in pijpstroming) Stijging pi¨ezometrisch niveau: h2 − h1 = ∆h = U2 (U1 − U2 ) /g

g

d1

+ d d2 2 2 d1

p 2 gdk = m Ek 3

Volkomen afvoer q = m dk

r

afvoer te bepalen via tw´e´e metingen (bijv. dk `en Ek )

q = m dk

Onvolkomen afvoer p 2g (Ek − dk )

afvoer te bepalen via ´e´en meting (bijv. dk ` of Ek )

2 gEk 3

(1) Diepte op kruin dk , specifieke energiehoogte op kruin Ek , afvoerco¨effici¨ent m.

Overlaten

c=

Idem, lage storing (d1 ≈ d2 = d): p gd

c=

Voortplantingssnelheid: r

Lopende watersprong

Dissipatie in sprong (via energiebalans):    q 2 −2 Pdiss = ρgq d1 − d2 + d − d2−2 2g 1

p.e.v. breedte

Stationaire watersprong

2 Eg 3

1 q2 1 q2 gd2 + = gd22 + 2 1 d1 2 d2

Impuls- en energieoverdracht

p.e.v. breedte

Gelijke impulsoverdracht overgang d1 - d2 (super- naar subkritisch):

1 ρgd2 + αρqU 2

1/3 =

p.e.v. breedte

Impulsoverdracht (vormfactor α): F =

p.e.v. breedte

Energieoverdracht: P = ρgqH

Kritische stroming Froude-getal F r: U F r = √ = 1 ⇒ U 2 = gd ⇒ q 2 = gd3 gd

gd 3 U2 =d+ = d 2g 2g 2

Specifieke energiehoogte: E =d+



q2 g

Grensdiepte (kritische diepte): dg =

Onderspuier

q2 q2 = d2 + 2gd12 2gd22

p.e.v. breedte

Gelijke energiehoogte, overgang d1 - d2 (sub- naar superkritisch): d1 +

  1 ρg d12 − d22 + ρq 2 d1−1 − d2−1 2

Kracht op schuif (via impulsbalans): K=

Weerstand omstroomd voorwerp 1 2 ρU 2

Stuwdruk, aanstroomsnelheid U : ∆pd = Sleepkracht, aangestroomd oppervlak A: 1 Fw = cw ρU 2 A 2 waarin cw de weerstandsco¨effici¨ent is. Voorbeeld bol: 24 24ν Re < 1 : cw = = UD Re 103 < Re < 2 × 105 : cw ≈ 0, 4 Energiedissipatie omstroomd voorwerp: ∆Pdiss

f ρU 2 8

Definitie weerstandsfactor:

f U2 8 gR

τ0 = cf ρU 2 =

iw =

geeft:

en

L U2 ∆Hw = iw L = f (Darcy-Weisbach) D 2g  k waarin f = f Re, D , zie diagram of onderstaande vergelijkingen Poiseuille Re < ca. 2300, laminair: 64 Re waarin Re = ρU D/η = U D/ν

f=

Wandwrijving eenparige stroom

White-Colebrook

1 = Fw U = cw ρU 3 A 2

Buisstroming



gRiw =

1 2



gDiw .

Doorstroomd oppervlak A, weerstand leverende omtrek P , schuifspanning, gemiddeld over P , is hτ0 i, hydraulische straal R = A/P , turbulente hoofdstroom (Re = U R/ν > ca. 600). Open waterlopen: iw = ib

Willekeurig dwarsprofiel

waarin δ = 11, 6ν/u? , Re? = u? k/ν en u? =

Diameter D = 2r0 , hydraulische straal R = D/4, ruwheid k, kinematische Re > ca. 4000, turbulent: viscositeit ν, gemiddelde snelheid U = Q/A, wandschuifspanning τ0 .   1 k 2, 5 3, 7D 3, 7D √ = −2 log 0, 27 + √ = 2 log = 2 log D Re f k (1 + 3, 3/Re? ) k + δ/3, 5 f Algemeen

Evenwicht schuifkracht - netto drukkracht:

ρg∆hA = ρgiw R LP

τ0 LP = ∆pA = ρg∆hA zodat τ0 =

Algemeen Algemeen:

B´ elanger

1/3

gRiw .

s − s0 L

waarin

1 4 d − dg3 d + cf dg3 s = constant 4

Horizontale bodem:

∆d = ∆d0 exp

(d 6= dg

L=

en ib > 0)

1 − ib /cf de 3ib

Kleine afwijkingen van de eenparige toestand:  

Oplossingen

ib − cf q 2 /gd3 dd d3 − de3 = = ib 3 ds 1 − αq 2 /gd3 d − dg3

Tweedimensionale stroom (breedte en diepte constant in dwarsprofiel):

dd ib − iw ib − cf Q2 P/gA3 = = ds 1 − F r2 1 − αQ2 B/gA3

Evenwicht schuifkracht - netto drukkracht (eenparige stroom):

gRiw /cf

hτ0 i = cf ρU 2 = ρu?2 = ρgRiw q

U= U2 ∆Hw = iw L = cf L gR White-Colebrook Gegeneraliseerde co¨efici¨enten voor willekeurige sprofielvorm:





R k

1/6

12R U U 1 12R = 5, 75 log =√ = √ = 5, 75 log cf k (1 + 3, 3/Re? ) k + δ/3, 5 gRiw

u? waarin δ = 11, 6ν/u? , Re? = u? k/ν en u? = Hydraulisch ruw: U U 1 12R =√ = √ = 5, 75 log ≈ 8, 3 u? cf k gRiw

Verhanglijnen Tweedimensionale stroom, breedte en diepte constant in dwarsprofiel

Eenparige stroom



cf q 2 ib g

Evenwichtsdiepte (ib = iw ): de =

Grensdiepte: zie (1)

Uitwerking tentamen Vloeistofmechanica (CTB2110) 3-11-2015

Vraagstuk I (pomp) I.1 In het pijpstuk voor de pomp is de energiehoogte gelijk aan de energiehoogte in het meer. Aangezien de snelheid in het meer verwaarloosbaar klein is geldt dat de energiehoogte in het meer gelijk is aan het pi¨ezometrisch niveau in het meer. De snelheid is constant in de buis (continu¨ıteit en uniforme buisdiameter). Daarmee is de snelheidshoogte ook uniform in de buis. Het pi¨ezometrisch niveau kan getekend worden door de snelheidshoogte van de energiehoogte af te trekken. De kinetische energie wordt gedissipeerd bij de uitstroming. Het pi¨ezometrisch niveau in de buis na de pomp is daarmee gelijk aan het waterniveau in de rivier. Het energieniveau in het pijpdeel aan de rivierzijde van de pomp kan getekend worden door de snelheidshoogte (gelijk aan de snelheidshoogte in de pijp aan de meerzijde) op te tellen bij het uniforme pi¨ezometrisch niveau. De pomp zorgt voor een verhoging van het energieniveau.

I.2 Het pompvermogen wordt gegeven door P = ρgQ∆H. Zie formuleblad voor ρ = 1000 kg/m3 en g = 9.81 m/s2 . Het debiet is gegeven: Q = 3 m3 /s. De te overbruggen energiehoogte is het verschil tussen het energieniveau na de pomp min het energieniveau voor de pomp. Het energieniveau voor de pomp is gelijk aan het energieniveau in het meer: Hvoor = HM = hm . Het energieniveau na de pomp is het energieniveau in de 2 2 rivier plus het uittreeverlies: Hna = HR + u2g = hR + u2g . De snelheid in de pijp is geQ geven door u = 0.25πD 2 = 2.65 m/s. Het te overbruggen energieverschil wordt daarmee: u2 2.652 ∆H = hR − hM + 2g = 2.5 − 0.5 + 2∗9.81 = 2.36m. Het pompvermogen wordt daarmee: P = ρgQ∆H = 69.4 kW. I.3 De onderdruk is maximaal (de druk is minimaal) in het horizontale deel van de pijp voor de pomp. Aangezien intreeverliezen verwaarloosbaar zijn is het energieniveau in de pijp voor de pomp gelijk aan het energieniveau in het meer: H = hM . In de pijp is 2 p het energieniveau tevens gegeven door H = z + ρg + u2g , met H = 0.5m, z = 4m, u =   Q u2 = 2.65m/s. Dit geeft als druk tov de luchtdruk: p = ρg H − z − = −37.8 0.25πD2 2g kW. I.4 (a) Intreeverliezen ontstaan doordat de stroming niet in staat is de geometrie van de pijpopening te volgen. Daardoor treedt contractie op, waarbij de stroming eerst versnelt en daarna weer vertraagt. Juist bij de vertraging treedt energieverlies op. Dit is eenvoudig te laten zien met een combinatie van een impuls- en energiebalans. (b) Het extra vermogen is gegeven door ∆P = ρgQ∆H, waarbij ∆H het intreeverlies representeert. 1

  2 Zie formuleblad voor: ∆H = µ1 − 1 u2g . Voor µ moet een realistische waarde ingevuld worden. Realistisch is µ = 0.5 − 1. Voor µ = 0.5: ∆P = 10.5 kW. I.5 De effectiviteit van de pomp wordt bepaald door P = ρgQ∆H. Door de vertikale pijp aan de rivierzijde weg te halen wordt het energieniveau aan de rivierzijde sterk verhoogd. Dit moet overbrugd worden door de pomp. Vergelijk dit met een hevel.

Vraagstuk II (meanderende rivier) II.1 In een ideale vloeistof is de versnelling van een waterdeeltje bepaald door de ruimtelijke (parti¨ele) afgeleiden van het pi¨ezometrisch niveau (h). Voor stationaire stroming heeft de deeltjesversnelling een component in de stroomrichting s (als de grootte van de snelheid verandert langs een stroomlijn) en een component in de normaalrichting n (als de richting van de snelheid verandert langs een stroomlijn). Deze versnellingen zijn gekoppeld aan de gradi¨ent van het pi¨ezometrisch niveau in de s richting, respectievelijk de n richting. In een rivierbocht volgt de hoofdstroming de ori¨entatie van de oevers en de bijbehorende stroomlijnen zijn daarom gekromd in het horizontale vlak. Deze richtingsverandering leidt tot een dwarsverhang dat groter is naarmate de versnelling in dwarsrichting groter is. Bepalend voor dit laatste zijn de grootte van de stroomsnelheid (U ) en de kromtestraal van de rivierbocht (R). II.2 In de stationaire toestand luidt de vergelijking van Euler in de normaal-richting van een stroomlijn (zie formuleblad): g ∂h/∂n = −U 2 /R, waarin R de kromtestraal van de stroomlijn is en n de richting naar het middelpunt van de bijbehorende kromtecirkel. Een willekeurige stroomlijn volgt de rivierbocht en heeft daarom een (gemiddelde) kromtestraal R van 1200 m. (Verschil in kromtestraal tussen binnen- en buitenbocht is verwaarloosbaar klein vanwege B  R.) De grootte van het dwarsverhang p kan worden afgeleid via |∂h/∂s| = ∆h/B = 2.35×10−4 . Hieruit volgt uiteindelijk U = g∆h R/B = 1,66 m/s. (Zie bijvoorbeeld ook practicumopdracht 1A: roterend vat.) II.3 De stationaire stroming in een waterloop streeft naar een eenparige toestand, gekenmerkt door een evenwicht tussen de weerstandskracht (ten gevolge van de bodemschuifspanning) en de aandrijvende verhangkracht (ten gevolge van de zwaartekracht). Door verschillende invloeden (kunstwerken, lokale aanpassingen in het rivierbed, aangrenzende watersystemen) is dit evenwicht mogelijk niet overal aanwezig. De waterdiepte zal zich in dat geval gaan aanpassen totdat de stroming weer eenparig is. Uitgangspunt van de theorie is dat deze overgangen zich over grote afstand voltrekken, zodat de drukverdeling hydrostatisch is (rechte stroomlijnen, geen vertikale versnellingen) en abrupte vertragingen zich niet voordoen. Dit leidt tot een balansvergelijking voor de energiehoogte met een dissipatieterm ten gevolge van uitsluitend de bodemweerstand, de zogenaamde verhanglijnvergelijking. II.4 Evenwichtsdiepte: de waterdiepte in een waterloop (rivier, kanaal) waarbij voor een gegeven (specifiek) debiet de stroming eenparig is. De totale bodemweerstand is dan in evenwicht met de verhangkracht, met het weerstandsverhang gelijk aan het bodemverhang. Uit het voorgaande volgt: gAib = cf U 2 P , waarin A en P respectievelijk het natte 2

oppervlak en de natte omtrek van de dwarsdoorgang zijn. Met A/P = R ≈ d (wat een goede benadering is indien, zoals hier, B  d) en de eerder berekende waarde van U volgt nu de = cf U 2 /(gib ) = 4.24 m. II.5 Zie onderstaande schets.

II.6 Langs het traject A-B is het bodemverhang anderhalf keer zo groot als langs de rest van de rivier waarmee de evenwichtsdiepte langs dit traject de,AB = 3,96 m. In punt B heerst de evenwichtsdiepte de behorend bij het riviertraject benedenstrooms van B. Er treedt hierdoor langs A-B een M1 -type verhanglijn op (flauwe bodemhel−1 ling, dB > de,AB ). De aanpassingslengte L hiervan bedraagt L = de,AB (i−1 b − cf )/3 = 6158 m. Volgens de benadering voor kleine afwijkingen van de eenparige toestand geldt dA = de,AB + (dB − de,AB ) exp ((sA − sB )/L). Met sA − sB = -2000 m (let op het minteken!) en dB − de,AB = 0,20 m volgt uiteindelijk dA = 3,95 m.

Vraagstuk III (pijpleiding) III.1 Als de drukval veroorzaakt wordt door wandwrijving is deze evenredig met het weerstandsverhang. Dit verhang is voor een turbulente stroming evenredig met de gemiddelde snelheid in het kwadraat en voor een laminaire stroming evenredig met de snelheid. Omdat de snelheid evenredig is met het debiet, duidt een lineair verband tussen drukval en debiet op een laminaire stroming. Omdat in de grafiek het lineaire deel bij lage debieten te vinden is en omdat de drukval bij hogere debieten meer dan lineair toemeent, lijkt dit een goede verklaring. III.2 Het verband tussen drukval en debiet volgt uit het verband tussen weerstandsverQ2 U2 L U2 L dus ∆p = fD = fD voor het laminaire geval hang en snelheid. iw = f8 gR ρg 2g 2g(π/4D2 )2 64 kunnen we voor de Darcy-Weisbach weerstandsfactor nemen f = Re met Re = UνD dan νρL volgt ∆p = 128 . Als we kijken naar de eerste 4 punten dan liggen die netjes op een lijn, Q π D4 met helling 81,5 kNs/m5 . Met de diameter als enige onbekende levert dit op: D = 0, 1 m. Met deze informatie kunnen we direct zien dat de stroming laminair is: bij Q = 0, 0002 m3 /s volgt U = 0, 025 m/s en Re = 2550. Dus de aanname dat voor kleine debieten de stroming laminair is klopt. III.3 De maximale wandschuifspanning wordt gevonden voor de maximale drukval en dus ook bij het maximale debiet; immers de lengte en de diameter van de buis blijven 3

hetzelfde. τ0 LP = ∆pA zodat τ0 =

D∆p 4L

=

0,1·1061 4·200

= 0, 133 N/m2 .

III.4 Als we uitgaan van hydraulisch ruwe  condities bij de grote debieten, dan geldt (Colebrook-White). Als we kijken naar het voor de weerstandsfactor √1f = 2 log 3,7D k verloop van de grafiek waarin de evenredigheid met het debiet ( en dus de snelheid) in 2 het kwadraat te herkennen is, dan geldt daar het verband ∆p = 7, 89 · 108 Nms8 op basis Q2 = f π8Lρ van het weerstandsverhang geldt voor deze relatie: ∆p 2 D 5 zodat hieruit volgt dat Q2 f = 0, 0486. Gebruikmakend van de White-Colebrook formule voor hydraulisch ruwe condities levert een relatieve ruwheid Dk = 0, 02, zodat k = 2 mm. III.5 De voorwaarde voor hydraulisch ruwe condities geldt dat de stroming turbulent moet zijn en dat k > δ met δ = 11, 6 uν∗ de dikte van de viskeuze sublaag. Met de inmid√ ∗ dels bekende waarde van de weerstandsfactor kunnen we u∗ berekenen. Immers uU = f . Voor het debiet van Q = 0, 00028 m3 /s geldt δ = 1, 5 mm ≈ k maar bij Q = 0, 00036 m3 /s geldt δ = 1, 2 mm < k dus ruw. Bij grotere debieten wordt de viskeuze sublaag alleen maar dunner.

Vraagstuk IV (korte overlaat) IV.1 In het stroomvoerende deel van doorgang 2 zijn de stroomlijnen bij benadering recht waardoor in dit deel van de vertikaal een hydrostatische drukverdeling heerst. Het deel van de doorgang dat zich in het zog bevindt kenmerkt zich door de aanwezigheid van een bodemneer waarin de stroomlijnen gekromd zijn. De stroomsnelheden in deze zone zijn echter zo laag (ten opzichte van de hoofdstroom) dat de bijbehorende gradi¨ent van het pi¨ezometrisch niveau (' U 2 /gR) verwaarloosbaar klein waardoor ook hier, zijn het bij benadering, de aanname van hydrostatische druk opgaat. IV.2 Gebruik een balans voor horizontale impuls tussen doorgangen 2 en 3: F2 = F3 , waarin F2,3 = 21 ρgd22,3 + ρqU2,3 . Met U3 = q/d3 en U2 = q/ (d2 − ak ) geeft dit (op een constante factor ρ na): 21 gd22 + q 2 / (d2 − ak ) = 21 gd23 + q 2 /d3 . Het rechterlid uit deze vergelijking kan rechtstreeks uit de gegevens berekend worden (F3 =3650 N/m) waarna een vergelijking met ´e´en onbekende (d2 ) resteert. Oplossen (grafische rekenmachine of iteratief) geeft uiteindelijk d3 = 0,76 m (subkritische tak van de oplossing kiezen). IV.3 De horizontale kracht KH van het stromende water op de overlaat kan gevonden worden via een impulsbalans voor het balansgebied tussen doorgangen 1 en 3: F1 − KH − F3 = 0 (balansgebied kiezen tussen doorgangen 1 en 2 kan ook). De impulsoverdracht in doorgang 3 volgt rechtstreeks uit het tussenresultaat van de vorige deelvraag. Voor de impulsoverdacht in doorgang 1 moeten we eerst de watediepte d1 bepalen, via de energievergelijking tussen doorgang 1 en 2: H1 = H2 . Met U2 = q/ (d2 − ak ) vinden we H2 = 1,137 m. De waterdiepte d1 volgt vervolgens uit d1 +q 2 / (2gd21 ) = 1,137 m. Oplossen hiervan levert (subkritische tak kiezen): d1 = 1,13 m. Invullen in de uitdrukking voor de impulsoverdracht geeft vervolgens F1 = 6378 N/m en uiteindelijk KH = F1 − F3 = 2727 N/m. √ IV.4 De overlaat is volkomen met afvoerco¨effici¨ent m = 1 zodat q = dk gdk , oftewel

4

1/3

dk = (q 2 /g) = 0,21 m (grensdiepte) en Ek = 32 dg = 0,31 m. De energiehoogte in doorgang voor de overlaat bedraagt nu H1 = ak + Ek = 0,96 m. Via de uitdrukking voor de energiehoogte kan hieruit de waterdiepte in doorgang 1 berekend worden: d1 = 0,95 m. IV.5 Beschouw het behoud van horizontale impuls in het balansgebied tussen doorgangen 4 en 3: F4 + Fstraal − F3 = 0. Hierin is Fstraal de door de straal meegevoerde impuls gelijk aan de massa overdracht via straal keer de horizontale stroomsnelheid in de straal: ρq × Ustraal cos 45◦ , waarin Ustraal = q/b = 3,0 m/s. De impulsoverdracht door doorgang 4 is gegeven door F4 = 12 ρgd24 (dichte wand, stroomsnelheid nul). De balansvergelijking kan hiermee worden omgewerkt tot: 12 gd23 + q 2 /d3 = 12 gd24 + (q 2 /b) cos 45◦ . Het rechterlid kan rechtstreeks uit de gegevens berekend worden. Oplossen van de resulterende vergelijking voor d3 geeft (subkritische oplossing kiezen) d3 = 0,59 m.

5

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.