ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK


1 ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros BME KÖZLEKEDÉ...
Author:  Márk Orosz

0 downloads 26 Views 3MB Size

Recommend Documents


No documents


ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK

Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG

Mérések és jelek x mért jellemző: időfüggvény - jel Jel: valamely fizikai jellemzőhöz tartozó, a konkrét fizikai megjelenésétől elvonatkoztatott időfüggvény x = f(t) - csak időbeli lefolyása érdekes x(t) általában folytonos idejű jel – t (idő) valós paraméter függvénye

2

A jelek osztályozása • Determinisztikus jelek

X1(t)

t x(t)

x(t)=A(1-e-αt) X2(t)

t

t

meghatározott időfüggvénnyel leírhatók

• Sztochasztikus jelek különböző realizációjuk különböző időfüggvényeket eredményez

XN(t)

t

3

A jelek osztályozása • Analóg jelek (folytonos idejű)

x(t)

t

• Digitális jelek (diszkrét idejű)

x(t)

t

Mintavételezés + kvantálás — AD konverzió 4

Determinisztikus jelek Determinisztikus jelek osztályozása  Periodikus jelek  Szinuszos jelek  Komplex periodikus jelek (Fourier-sorok)  Nem periodikus jelek  Kváziperiodikus jelek (→távközléstechnika)  Abszolút integrálható jelek (Fourier-transzformáció)  Energiakorlátos jelek (négyzetesen integrálható jelek, Fourier-transzformáció kiterjesztése)  Korlátos jelek (robusztus irányítások) 5

Periodikus jelek Periodikus jelek leírása: Fourier-sorok (Joseph Fourier (1768-1830)) x(t)

t

1 𝑓0 = 𝑇

T ∞

𝑥 𝑡 = 𝑎0 +

𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑘=−∞

𝑐𝑘 𝑒 𝑘=−∞

valós alak kapcsolat: Euler reláció



𝑥 𝑡 =

𝑘𝑡 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑇 𝑇

T – periódusidő f0 – frekvencia

𝑖2𝜋

𝑘𝑡 𝑇

komplex alak

𝑘𝑡

𝑒 𝑖2𝜋 𝑇 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋

𝑘𝑡 𝑘𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑇 𝑇 6

Periodikus jelek A periodikus jelek frekvenciatartománybeli leírása: ∞

𝑐𝑘 𝑒 𝑖2𝜋𝑘𝑓0𝑡

𝑥 𝑡 = 𝑘=−∞

ck együtthatók jelentése:

𝑒 𝑖2𝜋𝑘𝑓0𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘𝑓0 𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑘𝑓0 𝑡 ábrázolás: abszolút érték és fázis |X(f)|

milyen súllyal szerepelnek a harmonikus összetevők: vonalas spektrum

f

arg(X(f))

amplitúdó spektrum fázis spektrum

f f0 7

Periodikus jelek A Fourier-együtthatók meghatározása: 𝑎0 =

𝑎𝑘 =

1 𝑇 1 𝑇

𝑇

k=0-ra, továbbá k>0-ra

𝑥 𝑡 𝑑𝑡 0

𝑇

𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 0

𝑘𝑡 𝑑𝑡 𝑇

𝑏𝑘 =

1 𝑇

𝑇

𝑥 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 0

𝑘𝑡 𝑑𝑡 𝑇

illetve komplex alakban 1 𝑐𝑘 = 𝑇

𝑇

𝑥 𝑡 0

𝑘𝑡 −2𝜋 𝑇 𝑒 𝑑𝑡

k egész számokra

Fourier-integrál 8

Periodikus jelek 1 𝑐𝑘 = 𝑇

𝑇

𝑥 𝑡 𝑒

𝑘𝑡 −2𝜋 𝑇

𝑑𝑡

Fourier-integrál

0

Egyszerű esetben analitikusan kiértékelhető, egyébként – alkalmazzunk diszkrét közelítést.

Mintavételezzük a teljes periódust N pontban: 𝑇 ∆𝑡 = 𝑁

𝑇 𝑥𝑙 = 𝑥 𝑙 𝑛

1𝑇 𝑐𝑘 ≈ 𝑇𝑁

𝑁−1

𝑙=0

2𝜋 𝑇 −𝑖 𝑇 𝑘𝑙𝑁 𝑥𝑙 𝑒

𝑙 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1

1 𝑐𝑘 ≈ 𝑁

𝑁−1

𝑥𝑙 𝑒

𝑘𝑙 −𝑖2𝜋 𝑁

𝑙=0

Alakilag azonos a diszkrét Fourier-transzformációval, hatékony számítási algoritmus: gyors Fourier-transzformáció (FFT) 9

Periodikus jelek Analitikus számítás: négyszögjel Fourier-sora

10

Periodikus jelek Analitikus számítás: négyszögjel Fourier-sora

11

Periodikus jelek Analitikus számítás: fűrészfog-jel Fourier-sora

12

Periodikus jelek Analitikus számítás: fűrészfog-jel Fourier-sora

13

Periodikus jelek A Fourier-sorok létezése, konvergenciája: a matematika egy bonyolult problémája Fourier konvergencia tétel:

14

Periodikus jelek Példák konvergenciára: négyszögjel

„Gibbs jelenség”

15

Periodikus jelek Példák konvergenciára: Háromszög jel

Kétutasan egyenirányított szinusz

16

Periodikus jelek A Fourier konvergencia tétel a Fourier-sorok létezésére, konvergenciájára nem ad kielégítő eredményt számos fontos függvényosztály esetében, pl. a négyzetesen integrálható periodikus függvények esetében:

l2 sorozatok:

L2(0,T) jelek: 𝑇

𝑥 𝑡

2



𝑑𝑡 < ∞

𝑐𝑘

2

<∞

𝑛=−∞

0

L2(0,T) norma: 𝑥 𝑡



𝐿2 0.𝑇

=

1 𝑇

l2 norma:

𝑇

𝑥 𝑡 0

2 𝑑𝑡



𝑐

𝑙2

=

𝑐𝑘

2

𝑛=−∞

A Fourier-sorok L2(0,T) normában való konvergenciája a XX. századi matematika egy bonyolult problémája volt, általános megoldás nem született rá, számos tétel került bizonyításra ... 17

Periodikus jelek A talán legsikeresebb: Riesz-Fischer tétel

Részletösszeg, Cesáro-közép: 𝑥 𝑡 T szerint periodikus fv. 𝑛

𝑆𝑛 𝑥 =

𝑐𝑘 𝑘=−𝑛

𝑒 𝑖2𝜋𝑘𝑓0𝑡

𝑆0 𝑥 + 𝑆1 + ⋯ + 𝑆𝑁 szummációs eljárás 𝜎𝑛 𝑥 = 𝑁+1

Ha 𝑥 𝑡 ∈ 𝐿2 0, 𝑇 , akkor

lim 𝑥 − 𝜎𝑁 𝑥

𝑁→∞

𝐿2 0,𝑇

.

Konvergencia – szummációs eljárások révén teljesül. 18

Nem-periodikus jelek: jelterek Nincs általános elmélete a nem-periodikus jeleknek, osztályokba soroljuk őket − egy-egy osztályon belül írjuk le közös tulajdonságaikat. Az osztályozás alapja: lineáris függvényterek – olyan terek, amelyek elemei függvények, és amelyekben az összeadás és a számmal (skalárral) való szorzás műveletére fennáll a linearitás, azaz, ha 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 ,…, 𝒇𝒏 ,… elemei az L térnek, akkor ∞

𝑓=

𝛼𝑘 𝑓𝑘 ∈ 𝐿 𝑘=1

Végtelen dimenziós terek: a funkcionálanalízis foglalkozik velük.

Jelterek: lineáris terek, amelyek elemei x(t) függvények

Mi speciális jelterekkel foglalkozunk: • Abszolút integrálható jelek tere • Négyzetesen integrálható jelek tere • Korlátos jelek tere

19

Nem-periodikus jelek: jelterek  Abszolút integrálható jelek: az L1 tér ∞

𝑥 𝑡 𝑑𝑡 < ∞ −∞

egy norma:



𝑥

𝐿1

=

𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −∞

Ha egy térben létezik norma, normált térnek nevezzük. Ha egy normált térben minden normában konvergens sorozat a tér valamely eleméhez konvergál, Banach térnek nevezzük.

Az L1 tér normált tér, és Banach tér. 20

Nem-periodikus jelek: jelterek  Négyzetesen integrálható jelek: az L2 tér ∞

𝑥 𝑡

2 𝑑𝑡

<∞

−∞

Nevezik még az energiakorlátos függvények terének. Miért? − A négyzetes integrál kapcsolatba hozható a jel energia∞ tartalmával: (villamos példa) 𝐼 𝑡 2 𝑑𝑡 𝑃 = 𝐼𝑈 = 𝑅𝐼2 𝐸 = 𝑅 −∞



Norma:

𝑥

𝐿2

=

𝑥 𝑡 −∞

2 𝑑𝑡

Az L2 tér: normált tér és Banach tér 21

Nem-periodikus jelek: jelterek Az L2 tér speciális tulajdonsága, hogy definiálhatunk benne belső szorzatot (skaláris szorzat). ∞

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿2

𝑥, 𝑦

𝐿2

=

𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 −∞

A belső szorzat révén tudjuk definiálni az ortogonalitás fogalmát: 𝑥 és 𝑦 ortogonálisak egymással, ha 𝑥, 𝑦 𝐿2 = 0. Az ortogonalitás révén felvehető koordináta rendszer, azaz definiálható bázis, amelyben tetszőleges térbeli függvény kifejezhető a bázis elemeinek lineáris kombinációjával. Az L2 tér bázisai végtelen sok elemet tartalmaznak. Ha egy térben létezik belső szorzat, belsőszorzat térnek nevezzük. Ha egy belsőszorzat térben minden normában konvergens sorozat a tér valamely eleméhez konvergál, Hilbert térnek nevezzük.

Az L2 tér Hilbert tér.

22

Nem-periodikus jelek: jelterek  Korlátos jelek: az L∞ tér max

−∞<𝑥<∞

𝑥 𝑡

<∞

A függvényértékben (amplitúdóban) korlátos jelek.

Norma:

𝑥

𝐿∞

=

max

−∞<𝑥<∞

𝑥 𝑡 sup – mert nem biztos, hogy a függvény a maximumát felveszi

Precízebben:

𝑥

𝐿∞

= ess sup 𝑥 𝑡 −∞<𝑥<∞

ess – bővebb függvényosztályra igaz, megszámlálhatóan sok elszigetelt szingularitás megengedett

Az L∞ tér Banach tér. 23

A Fourier transzformáció Egy 𝑥 𝑡 ∈ 𝐿1 jel Fourier-transzformáltja 𝑋 𝜔 =

1 2𝜋



𝑥 𝑡 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡

𝜔 = 2𝜋𝑓 körfrekvencia

−∞

A Fourier-transzformáció kiterjeszthető 𝑥 𝑡 ∈ 𝐿2 jelekre a 𝛿 𝑡 Dirac-delta fogalmával (Plancherel-féle elmélet). Ennek megfelelően: az 𝑥 𝑡 ∈ 𝐿2 Fourier-transzformáltja egy 𝑋 𝜔 ∈ 𝐿2 függvény. létezik inverz transzformáció:

𝑥 𝑡 =

1 2𝜋



𝑋 𝜔 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞

24

A Fourier transzformáció A Fourier-transzformált jelentése: 𝑥 𝑡 =

𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡



1

2𝜋

az Euler reláció

𝑋 𝜔 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔

𝑋 𝜔 egy súlyfüggvény:

−∞

a különböző frekvenciájú sin és cos függvényekhez (periodikus komponensekhez) tartozó súlyok Egy példa:



négyszögletes ablakfüggvény, vagy karakterisztikus függvény

   







 





























(Páros függvény Fourier transzformáltja valós függvény)

25

A Fourier transzformált A Fourier-transzformált: valós változós komplex függvény 𝑋 𝜔 − 𝑋 −𝜔 = 𝑋 𝜔 Példa: csillapodó szinusz jel

𝑋 𝜔 amplitúdó spektrum: páros

𝑎𝑟𝑔 𝑋 𝜔

fázis spektrum: páratlan 26

Sztochasztikus jelek X1(t)

t

t-ben (idő) paraméterezett valószínűségi változó-sokaság: • végtelen sok realizáció - xi • minden realizáció különböző x(t) időfüggvény

X2(t)

t

Középérték:

1 𝑥 𝑡 = 𝑁

XN(t)

t

𝑁

𝑥𝑖 𝑡 𝑖=1

lim 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 =𝜇𝑥 𝑡

𝑁→∞

várható érték, 1. momentum 27

Sztochasztikus jelek Sztochasztikus jelek analízise:

Determinisztikus jellemzőket igyekszünk leszűrni belőlük. Példák: • Valószínűségi eloszlás- ill. sűrűségfüggvények • Várható értékek, momentumok • Korrelációs-, és kovariancia függvények • Spektrális függvények, stb.

28

Momentumok Momentumok: 1. momentum

𝜇𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡

középérték

2. momentum

𝜓𝑥2 𝑡 = 𝐸 𝑥 2 𝑡

négyzetes közép

k. momentum

𝛼𝑥𝑘 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑘 𝑡

Centrális momentumok: 2. centrális momentum 𝜎𝑥2 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

2

k. centrális momentum 𝛾𝑥𝑘 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

𝑘

szórásnégyzet

29

Momentumok Együttes momentumok: 𝑅𝑥 𝑡, 𝜏1 , 𝜏2 , … , 𝜏𝑘 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏1 𝑡 + 𝜏2 … 𝑡 + 𝜏𝑘

𝐶𝑥 𝑡, 𝜏1 , … , 𝜏𝑘 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡 + 𝜏1 − 𝐸 𝑥 𝑡 + 𝜏1

… 𝑥 𝑡 + 𝜏𝑘 − 𝐸 𝑥 𝑡 + 𝜏𝑘

k. momentum …

k. centrális momentum

Leggyakrabban alkalmazott együttes momentumok: 1. momentum: autokorreláció függvény

𝑅𝑥 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏 1. centrális momentum: autokovariancia függvény 𝐶𝑥 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡+𝜏 −𝐸 𝑥 𝑡+𝜏 30

Sztochasztikus jelek Stacionaritás: • Egy sztochasztikus jel akkor stacionárius, ha minden momentuma és együttes momentuma időtől független. • Egy sztochasztikus folyamat valamilyen N rendben gyengén stacionárius, ha legalább az első N momentuma és együttes momentuma időtől független. Stacionárius jelekre: 𝐸𝑥 𝑡

1 = lim 𝑇→∞ 𝑇 Időátlag

𝑇

𝑥 𝑡 𝑑𝑡 0

𝐸𝑥 𝑡

1 = lim 𝑁→∞ 𝑁

𝑁

𝑥𝑖 𝑡 𝑖=1

Összesség-átlag 31

Sztochasztikus jelek Ergodicitás:

𝐸𝑥 𝑡

1 = lim 𝑇→∞ 𝑇 Időátlag

𝑇

𝑥 𝑡 𝑑𝑡 0

𝐸𝑥 𝑡

1 = lim 𝑁→∞ 𝑁

𝑁

𝑥𝑖 𝑡 𝑖=1

Összesség-átlag

Egy stacionárius sztochasztikus jel ergodikus, ha az összesség- és az időátlagra képzett momentumai és együttes momentumai azonos értékűek. Az ergodicitás is lehet gyenge: csak valahányadik momentumig igaz. 32

Sztochasztikus jelek Sztochasztikus jelek szokásos osztályozása  Stacionárius jelek  Ergodikus jelek  Nemergodikus jelek  Instacionárius jelek Az ergodikus stacionárius jelek analízisére rendelkezünk általánosan használható eszközökkel. Nemergodikus és instacioner jelek speciális eseteire vannak analízis módszerek. 33

Sztochasztikus jelek Más szempontú osztályozás: valószínűségi eloszlás szerint  Egyenletes eloszlású jelek  Normális (Gauss) eloszlású jelek  … különböző más eloszlású jelek A normális (Gauss) eloszlású sztochasztikus jelek központi szerepet játszanak a jelfeldolgozásban.

𝑓 𝑥 =

1 𝜎 2𝜋

𝑥−𝑚 2 − 𝑒 2𝜎2

• Első és második momentumai teljesen leírják a folyamatot (μ,σ). • A központi határeloszlás tétel szerint tetszőleges eloszlású folyamatok összege a normális eloszlású folyamathoz tart. 34

Korrelációanalízis Autokorreláció, autokovariancia Egy sztochasztikus folyamat különböző időpontokhoz tartozó értékei közti reláció mérésére:

𝑅𝑥 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏 𝐶𝑥 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡+𝜏 −𝐸 𝑥 𝑡+𝜏

Keresztkorreláció, keresztkovariancia Két sztochasztikus folyamat különböző időpontokhoz tartozó értékei közti reláció mérésére:

𝑅𝑥𝑦 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 + 𝜏 𝐶𝑥 𝑡, 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝐸 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡+𝜏 −𝐸 𝑥 𝑡+𝜏 35

Korrelációanalízis Korreláció  Két változó közti kapcsolat - reláció - mértéke.  Önmagában nem jelent ok-okozati összefüggést.  A korrelálatlanság nem feltétlenül jelent függetlenséget (statisztikai vagy köznapi értelemben sem) Igazak a következő állítások: • Ha két jelenség között ok-okozati kapcsolat áll fenn, a jelenségekhez tartozó változók korreláltak. • Ha két változó független, akkor korrelálatlan is. Fordítva nem feltétlenül igazak.

Korreláció analízis A gyakorlatban változók közti összefüggések – így ok-okozati összefüggések – meghatározására használjuk (kellő óvatossággal). 36

Korrelációanalízis Stacionárius folyamatokra: Autokorreláció, autokovariancia 𝑅𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏 𝐶𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝜇𝑥 𝑥 𝑡 + 𝜏 − 𝜇𝑥

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑥 𝑡

Keresztkorreláció, keresztkovariancia 𝑅𝑥𝑦 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 + 𝜏

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑥 𝑡

𝐶𝑥𝑦 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 − 𝜇𝑥 𝑦 𝑡 + 𝜏 − 𝜇𝑦

𝜇𝑦 = 𝐸 𝑦 𝑡

A korreláció- és kovariancia függvények csak τ eltolási időtől függnek.

37

Spektrumanalízis Sztochasztikus jelekre nem teljesül az abszolút vagy négyzetes integrálhatóság — nem létezik Fourier-transzformáltjuk Ergodikus stacionárius sztochasztikus jelek spektrális függvénye: Autokorreláció (autokovariancia) függvényük Fourier-transzformáltja ∞

𝑅𝑥 𝜏 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜏

𝐺𝑥 𝜔 =

ahol

𝑅𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏

−∞

az auto-teljesítménysűrűség függvény (APSD – Auto Power Spectral Density)

38

Spektrumanalízis Létezik az autokorreláció (autokovariancia) függvény Fouriertranszformáltja? Az autokorreláció függvény nem feltétlenül L2 térbeli függvény, de

korlátos jelek autokorreláció (autokovariancia) függvénye a Dirac-δ megengedésével Fourier-transzformálható. Végtelenül keskeny és magas impulzus: nem függvény!

δ(x)



𝛿 𝑥 = x

∞ 𝑥=0 0 𝑥≠0

𝛿 𝑥 𝑑𝑥 = 1 −∞

Paul Dirac francia fizikus vezette be, precíz matematikai megalapozása: disztribúcióelmélet. 39

Spektrumanalízis 0-tól különböző középértékű jel:

Azonosan állandó függvény Fourier-transzformáltja nullától különböző esetben nem létezik, de kiterjesztett értelemben 𝐺𝑥 𝜔 = 𝛿 𝜔

|Gx(ω)|

ω 40

Spektrumanalízis Szinusz-jel: x(t) = sin ω0t

|Gx(ω)|

A Fourier-transzformáltja nem létezik, de kiterjesztett értelemben 𝐺𝑥 𝜔 = 𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 𝛿 𝜔 + 𝜔0 -ω0

ω0

ω 41

Spektrumanalízis 𝐺𝑥 𝜔

auto-teljesítménysűrűség függvény APSD – Auto Power Spectral Density

𝐺𝑥 𝑓

Főbb tulajdonságai:

𝐺𝑥 𝜔

= 𝐺𝑥 𝜔

𝐺𝑥 −𝜔 = 𝐺𝑥 𝜔

valós függvény

páros függvény

Lineáris rendszer átvitele:

𝐺𝑦 𝜔 = 𝑊 𝜔

2

𝐺𝑥 𝜔

x – bemeneti, y – kimeneti jel

42

Spektrumanalízis példa

Időtartománybeli jel

Teljesítménysűrűség spektrum (APSD) a pozitív frekvenciákhoz tartozó részt ábrázoltuk

43

Spektrumanalízis példa

Időtartománybeli jel Teljesítménysűrűség spektrum (APSD) a pozitív frekvenciákhoz tartozó részt ábrázoltuk

44

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Dr. Soumelidis Alexandros email: [email protected]

BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.