ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE


1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2012 Pavel RYS2...

0 downloads 6 Views 897KB Size

Recommend Documents


ˇ CESK E VYSOK E Uˇ CEN I TECHNICK E V PRAZE FAKULTA STAVEBN I BAKAL Aˇ RSK A PR ACE PRAHA 2012 Matˇ ej KUˇ CERA
1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2012 Matěj KUČE...

v Praze Fakulta elektrotechnická
1 České vysoké účení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra počítačů Návrh a imple...

Fakulta dopravní ČVUT v Praze
1 Fakulta dopravní ČVUT v Praze Bc. David Eiselt Analýza online distribuce letenek 20142 3 4 5 Prohlášení Nem&aacut...

ČVUT v Praze Fakulta dopravní
1 2 3 ČVUT v Praze Fakulta dopravní Bc. Patrik Horažďovský Veřejná doprava ve středně velkých městech se zaměřením ...

Univerzita Karlova v Praze V Praze dne Právnická fakulta
1 Univerzita Karlova v Praze V Praze dne Právnická fakulta Zápis z jednání kolegia děkana (KD) konaného dne ...

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
1 Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Státní správa policejního školství právn&iacu...

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE PRÁVNICKÁ FAKULTA
1 UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE PRÁVNICKÁ FAKULTA Diplomová práce Odpovědnost za vady v občanském právu Vypraco...

Univerzita Karlova v Praze Fakulta humanitních studií
1 Univerzita Karlova v Praze Fakulta humanitních studií Genderové aspekty rozhodování programových ředitelů ...

Univerzita Karlova v Praze 2. lékařská fakulta
1 Univerzita Karlova v Praze 2. lékařská fakulta Studijní program: Antropologie MUDr. Hliňáková Petra 2D a 3D model...

Univerzita Karlova v Praze Husitská teologická fakulta
1 Univerzita Karlova v Praze Husitská teologická fakulta Změny sociálního postavení handicapovaných jedinců ...



ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

PRAHA 2012

Pavel RYS

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE ETAPOVÉ MĚŘENÍ NIVELAČNÍ VZTAŽNÉ SÍTĚ PRAŽSKÉHO HRADU

Vedoucí práce: Ing. Tomáš KUBÍN, Ph.D. Katedra speciální geodézie

červen 2012

Pavel RYS

ZDE VLOŽIT LIST ZADÁNÍ

Z důvodu správného číslování stránek

ABSTRAKT Tato bakalářská práce se zabývá lokální výškovou sítí na Pražském hradě. V textu je popsána metodologie a přesnostní charakteristiky použitých výškových měření; podstatná část práce je dále zaměřena na vyrovnání výškové sítě metodou nejmenších čtverců a statistické testování svislých posunů. Výsledkem této práce je zpracování poslední etapy nivelačních měření na Pražském hradě (etapy podzim 2011) a její zhodnocení v návaznosti na výsledky etap předešlých.

KLÍČOVÁ SLOVA etapové měření, metoda nejmenších čtverců, posuny, Pražský hrad, přesná nivelace, vyrovnání, výšková síť

ABSTRACT This bachelor’s thesis deals with the Prague Castle levelling network. There is the methodology of height difference measurements and their accuracy characteristics described in the text. A significant part of work is focused on the least squares adjustment and statistical analysis of vertical displacements. As a result, the epoch measurement carried out in autumn 2011 has been processed and put into context of previous epochs.

KEYWORDS epoch measurement, the method of least squares, vertical displacements of geodetic points, Prague Castle, precise levelling, adjustment, local levelling network

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma „Etapové měření nivelační vztažné sítě Pražského hradu“ vypracoval samostatně. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v seznamu zdrojů.

V Praze dne

...............

.................................. (podpis autora)

PODĚKOVÁNÍ Mé velké díky směřují panu Ing. Tomáši Kubínovi, Ph.D. za konzultace, které mi v průběhu tvorby této práce poskytl. Ondřeji Boháčovi a Martinu Tröstlovi děkuji za pomoc při měření.

Obsah Úvod

8

1 Vztažná síť

9

1.1

Konstrukce a význam geotechnických vrtů . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Realizace vztažných bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Geologické poměry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Měření na Pražském hradě

9

12

2.1

Popis metody geometrické nivelace ze středu . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Popis metody TUVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Zkouška vodorovnosti záměrné přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4

Použité přístroje a pomůcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5

2.4.1

Přístroje a pomůcky pro nivelační měření . . . . . . . . . . . . 18

2.4.2

Přístroje a pomůcky pro TUVR . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Provedená měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5.1

Nivelační měření dne 26.10.2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.2

Nivelační měření dne 1.11.2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.3

Trigonometrické měření dne 31.10.2011 . . . . . . . . . . . . . 21

3 Zpracování měřených dat 3.1

3.2

Zpracování nivelačních měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.1

Apriorní přesnost nivelovaných převýšení . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2

Rozbor přesnosti po měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Zpracování trigonometrického měření . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.1

3.3

22

Apriorní přesnost TUVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Vyrovnání sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.1

Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2

Vyrovnání zprostředkujících měření . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.3

Charakteristiky přesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.4

Aplikace MNČ na vyrovnání výškové sítě . . . . . . . . . . . . 29

3.4

3.3.5

Vyrovnání v programu Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.6

Shrnutí výsledků vyrovnání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Zhodnocení výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.1

Test aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky . . . . . . . 33

3.4.2

Testování uzávěrů v nivelačních polygonech

4 Analýza vertikálních posunů

. . . . . . . . . . 34 37

4.1

Testování rozdílů měřených převýšení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2

Testování posunů bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Závěr

40

Použité zdroje

43

Seznam příloh

47

A Přehled metod výškových měření

48

B Dávkový XML soubor

49

C Testování rozdílů měřených převýšení

50

C.1 Tabulky s výsledky testování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 C.2 Grafické vizualizování rozdílů převýšení . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 D Testování posunů bodů

57

D.1 Tabulky s výsledky testování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 D.2 Grafické vizualizování posunů bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ČVUT v Praze

ÚVOD

Úvod V rámci několika grantových projektů, výzkumných záměrů i zakázek Správy Pražského hradu zajišťuje Katedra speciální geodézie spolu s Katedrou geotechniky FSv ČVUT v Praze dlouhodobý pravidelný monitoring objektů v areálu Pražského hradu. Sledování posunů a vývoje prostorových deformací v čase je možné provádět na několika úrovních podrobnosti a přesnosti. Zatímco geodetická měření poskytují údaje o přetváření pouze na povrchu území, přesnými geotechnickými metodami lze získat informace o chování základových konstrukcí a geologického podloží staveb. V rámci projektu podpořeného Grantovou agenturou České republiky (grantový projekt č. 103/07/1522 – Stabilita historických památek) byla na Pražském hradě vybudována lokální prostorová síť. Hlavními body sítě jsou hloubkové geotechnické vrty, jež byly do té doby sledovány samostatně v rámci velice přesných geotechnických měření (inklinometrie a mikrometrie). Propojení geotechnických vrtů do jednotného souřadnicového a výškového systému umožňuje sledovat případné vzájemné změny prostorové polohy zhlaví jednotlivých vrtů. Obě složky vztažné sítě (polohová a výšková) se zaměřují a zpracovávají odděleně. Předmětem a cílem této bakalářské práce je etapové zaměření a zpracování části vztažné výškové sítě. V úvodních kapitolách se tak zabývám popisem použitých metod výškových měření, parametry konkrétního měřického vybavení použitého pro zaměření zpracovávané etapy a stručně uvádím i průběh jednotlivých měření. Ve třetí kapitole se dále věnuji zpracování naměřených dat a určení přesnostních charakteristik výsledků. Stěžejním tématem kapitoly je vyrovnání výškové sítě metodou nejmenších čtverců a zhodnocení výsledků vyrovnání. V závěrečné části práce provádím analýzu svislých posunů. Statistickému testování podrobuji rozdíly měřených převýšení a dále rozdíly vyrovnaných výšek bodů.

8

ČVUT v Praze

1

1. VZTAŽNÁ SÍŤ

Vztažná síť

Hlavními body lokální prostorové sítě Pražského hradu jsou hloubkové geotechnické vrty zbudované v blízkosti významných nebo ohrožených objektů. Hradní komplex obsahuje celkem 7 vrtů a jeden hloubkově stabilizovaný bod v zahradě Na Opyši. Přehled těchto bodů uvádí tabulka 1.1. Tab. 1.1: Geotechnické vrty označení vrtu

číslo bodu

poloha

typ

MPD01

1001

Vikářská ulice

vrt

MPD02

1002

Matheyho pilíř

vrt

MPD03

1003

Ludvíkovo křídlo

vrt

MPD04

1004

bazilika sv. Jiří - nádvoří

vrt

MPD04A

1004a

bazilika sv. Jiří - věž

vrt

MPD05

1005

Královský letohrádek

vrt

VB011

1011

Hradčanské náměstí

vrt

VB012

1012

zahrada Na Opyši

hloubková stab.

1.1

Konstrukce a význam geotechnických vrtů

Geotechnické vrty umoňují vysoce přesně měřit prostorové deformace základů a podloží staveb. Vrty jsou většinou vedeny vertikálně (případně mírně šikmo) a dosahují značných hloubek – od 6 m (vrt VB011 na Hradčanském náměstí) až po 20 m (vrt MPD02 u Matheyho pilíře). Měření se provádí uvnitř speciálních plastových pažnic průměru 75 mm, jimiž jsou vrty vystrojeny. Základová konstrukce stavby a podloží jsou spojeny s měřícími pažnicemi jílocementovou injektáží. Prostorové deformace zemního tělesa či betonové hráze se tak přenášejí na pružnou pažnici a relativní přetvoření jsou měřena na kovových bajonetových zarážkách po 1 m délky vystrojené linie. Zhlaví měřicí výstroje je opatřeno uzamykatelným uzávěrem a svrchní část se obetonovává.

9

ČVUT v Praze

1. VZTAŽNÁ SÍŤ

Příčné deformace měřících značek (vůči patě vrtu) se měří inklinometrickou sondou; deformace ve směru pažnice se určují klouzavým mikrometrem. Dále se užívá kombinovaná sonda TRIVEC (kombinace mikrometrické sondy a dvojice inklinometrických čidel), která současně určuje 3 vektory posunů – dva posuny v příčném směru a posun ve směru pažnice. Princip geotechnických měření je podrobněji vysvětlen např. v [1]. Prováděná geotechnická měření mohou odhalit místa koncentrovaných deformací jako např. poruchové zóny, degradované horniny v základové spáře nebo vrstvy stlačitelných zemin. Dlouhodobé sledování časového vývoje deformací historických objektů zároveň umožňuje rozlišit cyklické přetváření (např. vlivem teploty) od přetváření vykazujícího rozvojový trend.

1.2

Realizace vztažných bodů

Vybudování vztažné sítě bylo od počátku prováděno se záměrem propojit geotechnické a geodetické metody sledování. Při přenosu svislého a vodorovných posunů na geodetický vztažný bod ve zhlaví vrtu je nutné zachovat vysokou přesnost. Aby mohl být charakteristický bod pažnice vystrojeného vrtu opakovaně realizován pro geodetická měření, byl na FSv vyvinut speciální přípravek, viz obr. 1.1. nivelační značka se zápichem pro optickou centraci středící posuvný kužel uzávěr pažnice kulová plocha dosedající do kuželové měřicí značky měřicí značka klouzavého mikrometru jílocementová injektáž vrtu kombinovaná pažnice

Obr. 1.1: Realizace vztažného bodu ve zhlaví vrtu

10

ČVUT v Praze

1. VZTAŽNÁ SÍŤ

Ten se vsune do pažnice a jeho poloha se přesně definuje dosednutím do první měřicí značky vrtu a dostředěním pomocí posuvného kuželu. Na vystředěném trnu je kulová plocha sloužící jako nivelační značka a zápich v ní rovněž slouží k centraci geodetických přístrojů a pomůcek. Při nivelacích se kontrolně zaměřuje i ocelový trn, který slouží k umístění zámečku plastového uzávěru zhlaví.

1.3

Geologické poměry

Tento odstavec je citací textu z díla [2]. Geologické poměry území Pražského hradu nejsou ve své podstatě složité, ale antropogenní činností spojenou se stavebními úpravami hradčanského návrší se během posledních staletí značně zkomplikovaly. Skalní podloží areálu je tvořeno ordovickými horninami spodního paleozoika. Jedná se o mohutný, silně provrásněný a tektonicky porušený komplex letenského souvrství, ve kterém se střídají polohy prachovitých a drobových břidlic s vrstvami pískovců a křemenců. Jsou to pevné, deskovitě vrstevnaté stejnorodé horniny s nápadně nerovnými až hrbolatými vrstevními plochami. Směr sklonu těchto vrstev je v prostoru naší lokality průměrně 50∘ k jihu až jihovýchodu. Celé souvrství vytváří morfologicky nápadný, ostře ohraničený ostroh V–Z směru, který byl v kvartéru vymodelován erozivní činností řeky Vltavy a potoka Brusnice. Od středověku byl také intenzivně přetvářen lidskou činností při stálém rozšiřování hradních objektů, kdy byly vrcholové partie objektu zarovnávány a odtěženou horninou byla rozšiřována plošina hradčanského návrší. Skalní podklad vystupuje k povrchu (nebo do hloubky 2 m) pouze v prostoru I. a II. hradního nádvoří. Pokryvné útvary jsou tvořeny převážně materiálem navážek získaných při civilizačních úpravách návrší, které ve sledovaném území dosahují mocnosti 5–10 m. V charakteru jsou tyto navážky hlínami a písčitými hlínami s úlomky břidlic, místy i pískovců.

11

ČVUT v Praze

2

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Měření na Pražském hradě

Etapová nivelační měření prováděná ke zjišťování stability vztažné sítě a určování svislých posunů jsou prováděna dvěma typy přístrojů – klasickým optickým nivelačním přístrojem a moderním digitálním nivelačním přístrojem. Propojení nivelačních pořadů vedených severními zahradami s pořady jižního areálu je zajištěno měřeným převýšením mezi body 552 a 553. Toto převýšení je určeno trigonometricky z důvodu vysoké obtížnosti nivelace přes Jelení příkop a je jediným převýšením lokální výškové sítě na Pražském hradě určeným touto metodou. Přehled metod výškových měření je znázorněn v příloze A. Pro účel této bakalářské práce jsem se zúčastnil měření prováděných digitálním nivelačním přístrojem a také jsem asistoval při zmíněném trigonometrickém měření výškového rozdílu mezi body 552 a 553. Měření nivelačních pořadů prováděná klasickým optickomechanickým přístrojem zajišťuje doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc., jemuž jsem s částí práce pomáhal jako figurant. V této kapitole se dále zabývám popisem použitých metod, parametry konkrétního měřického vybavení a stručně uvádím i průběh jednotlivých měření.

2.1

Popis metody geometrické nivelace ze středu

Geometrická nivelace ze středu je nejpřesnější, nejužívanější a zároveň nejefektivnější nivelační metodou. Její princip je patrný z obr. 2.1.

pB

zA

ΔHAB HB

HA

s

s A

Obr. 2.1: Geometrická nivelace ze středu

12

B

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Přibližně uprostřed spojnice dvou blízkých bodů 𝐴 a 𝐵 se připraví k měření nivelační přístroj. Na nivelační lati postavené na bodě 𝐴, resp. 𝐵 odečteme záměru »vzad«, resp. »vpřed«. Postavení nivelačního přístroje a dvojice latí tvoří nivelační sestavu. Převýšení v této nivelační sestavě vypočteme jako rozdíl záměr vzad (𝑧 𝐴 ) a vpřed (𝑝𝐵 ). Δ𝐻𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 − 𝐻𝐴 = 𝑧 𝐴 − 𝑝𝐵

(2.1)

Délka nivelační sestavy je však omezena vzdáleností bodů, mezi nimiž výškový rozdíl určujeme (dále jejich převýšením či výskytem terénních překážek) a proto je zpravidla nutné zvolit několik přestavových bodů. Vzniklou posloupnost nivelačních sestav označujeme jako nivelační oddíl. Převýšení nivelačního oddílu o 𝑛 sestavách potom určíme podle vztahu 2.2. 1

1

2

𝑛

2

𝑛

Δ𝐻𝐴𝐵 = (𝑧 − 𝑝 ) + (𝑧 − 𝑝 ) + · · · + (𝑧 − 𝑝 ) =

𝑛 ∑︁ 𝑖=1

𝑖

𝑧 −

𝑛 ∑︁

𝑝𝑖

(2.2)

𝑖=1

Krátké nivelační oddíly (mezi stabilizovanými nivelačními značkami) jsou v běžné praxi označovány jako nivelační pořady. Předností geometrické nivelace ze středu je vyloučení vlivu zakřivení Země (chyby ze zakřivení horizontu) a vlivu hlavní přístrojové chyby – nevodorovnosti záměrné přímky. Za určitých předpokladů1 metoda eliminuje i chybu ze svislé složky refrakce. Podrobněji je o technologii nivelačních měření pojednáno např. v [3].

2.2

Popis metody TUVR

Se stále dokonalejším přístrojovým vybavením a úplnějšími znalostmi o fyzikálních vlastnostech Země a zemské atmosféry je metoda trigonometrického určování výškových rozdílů (dále jen TUVR) velice efektivní a plnohodnotnou metodou výškových měření. Zprostředkujícími veličinami jsou měřený zenitový úhel a šikmá délka. V případě TUVR na Pražském hradě byly tyto veličiny měřeny oboustranně, v pěti skupinách. 1

Velikost chyby ze svislé složky refrakce závisí především na vertikálním teplotním gradientu

(změně teploty s výškou nad terénem). Chyba se eliminuje měřickou metodou, je-li vertikální teplotní gradient konstantní, nebo je-li terén přibližně vodorovný.

13

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Při výpočtu převýšení je obecně nutno uvažovat vliv refrakce a vliv zakřivení Země. U relativně krátké a nepříliš skloněné záměry, probíhající vzhledem k terénnímu reliéfu symetricky a zvláště v okolí koncových bodů dostatečně vysoko, lze očekávat přibližně stejné teplotní a tlakové poměry a tím i srovnatelnou hustotu a index lomu prostředí. Při rozboru vlivu refrakce proto uvažujeme model s konstantním refrakčním koeficientem pro záměru, kde základním předpokladem je přibližně stejný vliv refrakce na obou koncích oboustranně a současně měřené záměry. Průmět prostorové refrakční křivky do svislé roviny lze potom aproximovat plochým kružnicovým obloukem a určujeme tedy pouze vertikální složku refrakčního úhlu.

tj φ ij /2

ti *z ji

z ji

φ ij /2

ρj

*z ij z ij

D ij

ρi α

Pi

D ij

β

i

Pj

γ h ij Pji φ ij

Pi0

Pj0

D ij 0

R

R φ ij

Obr. 2.2: TUVR

14

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

V obr. 2.2 je použita tato symbolika: 𝑃𝑖 , 𝑃𝑗 . . . koncové body měřené šikmé délky 𝑃𝑖0 , 𝑃𝑗0 . . . průměty 𝑃𝑖 , 𝑃𝑗 do nulového horizontu 𝑃𝑗𝑖 . . . průmět bodu 𝑃𝑗 do skutečného horizontu bodu 𝑃𝑖 𝑅 . . . střední poloměr Země ℎ𝑖𝑗 . . . trigonometricky určený výškový rozdíl mezi body 𝑃𝑖 , 𝑃𝑗 𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 . . . tížnice 𝐷𝑖𝑗 . . . měřená šikmá délka 𝑖 . . . vodorovná délka v horizontu bodu 𝑃𝑖 𝐷𝑖𝑗 0 𝑖 𝐷𝑖𝑗 . . . průmět 𝐷𝑖𝑗 do nulového horizontu

𝜙𝑖𝑗 =

0 𝐷𝑖𝑗 𝑅

. . . geocentrický úhel (úhel sbíhavosti tížnic)

*

𝑧𝑖𝑗 , *𝑧𝑗𝑖 . . . současně měřené zenitové úhly

𝜚𝑖 , 𝜚𝑗 . . . refrakční úhly 𝑧𝑖𝑗 , 𝑧𝑗𝑖 . . . zenitové úhly opravené o vliv refrakce Z obr. 2.2 lze odvodit vliv refrakce na oboustranně měřené zenitové úhly v okamžiku měření i obecně platný vztah pro výpočet trigonometricky určeného převýšení. V trojúhelníku 𝑃𝑖 𝑃𝑗 𝑆 platí: 200 𝑔𝑜𝑛 − (*𝑧𝑖𝑗 + 𝜚𝑖 ) + 200 𝑔𝑜𝑛 − (*𝑧𝑗𝑖 + 𝜚𝑗 ) + 𝜙𝑖𝑗 = 200 𝑔𝑜𝑛

(2.3)

𝜚𝑖 + 𝜚𝑗 = 200 𝑔𝑜𝑛 + 𝜙𝑖𝑗 − (*𝑧𝑖𝑗 + *𝑧𝑗𝑖 )

(2.4)

Uvažujeme-li zmíněný refrakční model záměry (𝜚𝑖 ≈ 𝜚𝑗 ≈ 𝜚𝑖𝑗 ), vypočteme průměrný refrakční úhel ze vztahu 2.5 a průměrný refrakční koeficient ze vztahu 2.6. 𝜚𝑖𝑗 =

* 𝜚𝑖 + 𝜚𝑗 𝜙𝑖𝑗 𝑧𝑖𝑗 + *𝑧𝑗𝑖 = 100 𝑔𝑜𝑛 + − 2 2 2

(2.5)

2 𝜚𝑖𝑗 𝜙𝑖𝑗

(2.6)

𝑘𝑖𝑗 =

15

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Výškový rozdíl ℎ𝑖𝑗 bodů 𝑃𝑖 a 𝑃𝑗 odvodíme z obecného trojúhelníku 𝑃𝑖 𝑃𝑗 𝑃𝑗𝑖 aplikací sinové věty: (︂

ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 ×

sin 𝛼 = 𝐷𝑖𝑗 × sin 𝛽

sin 100 𝑔𝑜𝑛 − 𝑧𝑖𝑗 + (︂

sin 100 𝑔𝑜𝑛 +

𝜙𝑖𝑗 cos 𝑧𝑖𝑗 − 2 ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × 𝜙𝑖𝑗 cos 2 (︂

𝜙𝑖𝑗 2 )︂

)︂

(2.7)

𝜙𝑖𝑗 2

)︂

(2.8)

𝜙𝑖𝑗 cos 𝑧𝑖𝑗 + 𝜚𝑖𝑗 − 2 ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × 𝜙𝑖𝑗 cos 2 Dosazením rovnice 2.5 do vztahu 2.9 dále dostáváme: (︂

(︂

cos

)︂

*

(2.9)

* 𝜙𝑖𝑗 𝑧𝑖𝑗 + *𝑧𝑗𝑖 𝜙𝑖𝑗 − − 2 2 2 𝜙𝑖𝑗 cos 2

*

)︂

𝑧𝑖𝑗 + 100 𝑔𝑜𝑛 +

ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 ×

* 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 cos 100 𝑔𝑜𝑛 − 2 ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × 𝜙𝑖𝑗 cos 2 * 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 sin 2 ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × 𝜙𝑖𝑗 cos 2

(︂

(2.10)

)︂

(2.11)

(2.12)

𝜙𝑖𝑗 ≈ 1. V prak2 tických aplikacích TUVR je tedy možné s dostatečnou přesností psát: 0 Pro 𝐷𝑖𝑗 < 2 𝑘𝑚 je geocentrický úhel 𝜙𝑖𝑗 < 0.02 𝑔𝑜𝑛 a tedy cos

*

ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × sin

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

(2.13)

Vzorec 2.13 podává zcela obecné řešení metody TUVR s vyloučením chyby ze zakřivení Země a z vlivu refrakce. Jedinou podmínkou jeho platnosti je stejný vliv refrakce na obou koncích současně měřené záměry. Podmínka současného měření sice v našem případě splněna není, ale lze ji ospravedlnit malým časovým odstupem měření »zpět« podpořeným celodenní stálostí teploty. O sledování velikosti a časových změn vlivu refrakce při geodetických měřeních je podrobně pojednáno v [4]; užití dalších refrakčních modelů uvádí např. [5].

16

ČVUT v Praze

2.3

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Zkouška vodorovnosti záměrné přímky

U libelových nivelačních přístrojů je hlavní osovou podmínkou rovnoběžnost záměrné přímky s osou nivelační libely. Jistou analogií této podmínky je u kompenzátorových přístrojů požadavek na dokonalou funkci kompenzátoru. Ten má zajistit, aby vodorovná přímka procházela přesně středem ryskového kříže. Při vyšších požadavcích na přesnost nivelačních prací je nutné vodorovnost záměrné přímky ověřit přímo v terénu bezprostředně před vlastním měřením. Zkoušku nivelačního přístroje je možné provést několika sobě podobnými postupy; při měření na Pražském hradě byla zpravidla používána Förstnerova metoda.

Princip zkoušky nivelačního přístroje Förstnerovou metodou Zavedeme následující označení: ℎ𝐵 . . . správná hodnota převýšení měřeného ze stanoviska 𝐵 (hodnota nezatížená chybou způsobenou vlivem nevodorovnosti záměrné přímky) ℎ𝐶 . . . správná hodnota převýšení měřeného ze stanoviska 𝐶 𝑎𝐵 , 𝑑𝐵 . . . čtení na latích ze stanoviska B 𝑎𝐶 , 𝑑𝐶 . . . čtení na latích ze stanoviska C Δ . . . chyba záměry ve vzdálenosti 𝑠 způsobená nevodorovností záměrné přímky

aC aB



Δ



Δ

s A

s

Obr. 2.3: Förstnerova metoda

17

dB

s C

B

dC

D

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Podle obrázku 2.3 a právě zavedeného značení platí tyto vztahy: ℎ𝐵 = 𝑎𝐵 − 𝑑𝐵 + Δ ,

ℎ𝐶 = 𝑎𝐶 − 𝑑𝐶 − Δ

(2.14)

Protože převýšení nepochybená vlivem nevodorovnosti záměrné přímky by se měla z obou stanovisek rovnat, můžeme psát: 𝑎𝐵 − 𝑑 𝐵 + Δ = 𝑎𝐶 − 𝑑 𝐶 − Δ

(2.15)

(𝑎𝐶 − 𝑑𝐶 ) − (𝑎𝐵 − 𝑑𝐵 ) 2

(2.16)

Δ=

Je-li podmínka rovnosti délek záměr porušena, lze určit početní korekci převýšení na 1 m délky podle vzorce 2.17. Znaménko korekce obecně závisí na tom, zda je délka záměry vpřed delší, resp. kratší než délka záměry vzad. Δ′ =

Δ 𝑠

(2.17)

Při testu digitálního nivelačního přístroje Trimble Zeiss DiNi 12T je výsledkem zkoušky zjištěný úhel odklonu záměrné přímky. Jeho hodnota (včetně znaménka) se zadá do software přístroje a ten automaticky měřená převýšení opravuje.

2.4 2.4.1

Použité přístroje a pomůcky Přístroje a pomůcky pro nivelační měření

Oba nivelační přístroje používané k měření na Pražském hradě pocházejí z inventáře Katedry speciální geodézie. Část nivelačních měření je prováděna klasickým optickomechanickým přístrojem pro přesnou nivelaci Zeiss NI 007. Při použití dvojice invarových dvoustupnicových nivelačních latí je směrodatná jednotková kilometrová odchylka udaná výrobcem 𝜎0 = 0.7 𝑚𝑚. Druhým přístrojem je Trimble Zeiss DiNi 12T. Jedná se o digitální nivelační přístroj pro přesnou nivelaci. Měření se provádí na kódové invarové nivelační latě. Výrobcem udaná přesnost charakterizovaná směrodatnou jednotkovou kilometrovou odchylkou obousměrné nivelace je 𝜎0 = 0.3 𝑚𝑚.

18

ČVUT v Praze

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Přístroje byly stavěny na těžký skládací stativ; některé nivelované oddíly totiž neumožňují použít stativ pevný (nivelace po schodech). K výškovému zaměření vztažných bodů jednotlivých geotechnických vrtů se používá speciální přípravek, který je detailně popsán v kapitole 1.2.

2.4.2

Přístroje a pomůcky pro TUVR

K trigonometrickému zaměření převýšení byla použita automatizovaná totální stanice Trimble S6 HP, jejíž přesnost je charakterizována nominální přesností úhlovou2 𝜎𝑧 = 0.3 𝑚𝑔𝑜𝑛 a přesností měření délek na hranol 𝜎𝑑 = 1 𝑚𝑚 + 1 𝑝𝑝𝑚. Postavení přístroje a odrazného hranolu nad sledovanými body bylo realizováno na pevných ocelových ministativech s trojnožkami; centrace a horizontace byla provedena pomocí optického dostřeďovače Sokkisha s instalovanou předsádkovou čočkou umožňující zaostření na krátké vzdálenosti (odpovídající velmi nízkému postavení přístroje). Výška přístroje a cíle nad bodem byla odečtena strojírenským hloubkoměrem s udanou přesností 0.05 mm.

Obr. 2.4: Trimble S6 HP 2

Nominální přesností úhlovou se podle normy ČSN ISO 17123-3 [6] rozumí směrodatná odchylka

vodorovného směru, resp. zenitového úhlu měřeného v obou polohách dalekohledu.

19

ČVUT v Praze

2.5 2.5.1

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Provedená měření Nivelační měření dne 26.10.2011

První pořad zaměřený digitálním nivelačním přístrojem pro účely této bakalářské práce byl veden jižním okrajem Královské zahrady, jež patří do komplexu Severních zahrad Pražského hradu. Před měřením byla na Prašném mostě provedena zkouška přístroje Förstnerovou metodou (viz kapitola 2.3) a zjištěný úhel odklonu záměrné přímky byl zadán do software přístroje. První nivelační oddíl vedl přímo přes Prašný most; do Královské zahrady jsme vstoupili západní branou z ulice U Prašného mostu a dále jsme pokračovali kolem Míčovny až ke Královskému letohrádku na východním okraji Královské zahrady. Během měření, kterého se zúčastnil Ing. Tomáš Kubín, Ph.D., Ondřej Boháč a Pavel Rys, bylo zataženo s trvalým deštěm a mírným větrem. Nivelace probíhala od 15.00 do 18.00 hod. Měřické vybavení zahrnovalo: nivelační přístroj Trimble Zeiss DiNi 12T, jednu invarovou kódovou nivelační lať Zeiss s opěrkami, těžký skládací stativ, těžkou litinovou nivelační podložku.

2.5.2

Nivelační měření dne 1.11.2011

Druhý nivelační pořad byl veden z Vikářské ulice přes náměstí U sv. Jiří, dále Jiřskou ulicí až do zahrady Na Opyši, kde je hloubkově stabilizován bod VB012 a kde se rovněž nachází bod 553, již zmíněný v souvislosti s TUVR. Před měřením byla opět provedena zkouška nivelačního přístroje Förstnerovou metodou. Narozdíl od měření ze dne 26.10.2011 byly tentokrát k nivelačnímu přístroji Trimble Zeiss DiNi 12T použity dvě kódové invarové latě; proto bylo nutné dbát na jejich výměnu při nivelaci »zpět« a dodržení sudého počtu sestav. Během měření, které probíhalo od 8.00 do 12.00, bylo zataženo nízkou oblačností a vál mírný vítr. Měřickou skupinu tvořili Ing. Tomáš Kubín, Ph.D., Martin Tröstl, Pavel Rys.

20

ČVUT v Praze

2.5.3

2. MĚŘENÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Trigonometrické měření dne 31.10.2011

Výškový rozdíl mezi body 552 a 553 byl určen trigonometrickou metodou. Měření zenitových úhlů a šikmých délek bylo nejprve provedeno na bodě 552 umístěném na severní zdi fíkovny, záměra probíhala přes Dolní Jelení příkop na bod 553 stabilizovaný v zídce přiléhající k věži Daliborka. Veličiny byly měřeny oboustranně; v pěti skupinách. Během observace panovaly poměrně příznivé atmosférické podmínky – zataženo nízkou oblačností a mírný vítr. Zjištěná teplota 10.5 ∘ C a tlak 994.70 mbar byly před měřením zadány do software přístroje k automatickému zavedení fyzikálních redukcí měřených délek. Samotné měření provedl Ing. Tomáš Jiřikovský, Ph.D.; postavení přístroje a odrazného hranolu nad sledovanými body (centraci a horizontaci) měl na starost Pavel Rys. Měření proběhlo mezi 11.00 a 12.15 hod.

21

ČVUT v Praze

3

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Zpracování měřených dat

3.1

Zpracování nivelačních měření

Registrovaná data ze zápisníku nivelačních měření byla upravena do formy přehledných tabulek. V těchto tabulkách je pro každý nivelační oddíl vypočteno měřené převýšení, délka oddílu, rozdíl z měření »tam« a »zpět«, hodnota mezního rozdílu (viz kapitola 3.1.2 – Rozbor přesnosti po měření), průměrné převýšení z měření »tam« a »zpět«, apriorní přesnost převýšení v nivelačním oddílu (viz kapitola 3.1.1). Nachází-li se v nivelačním oddílu bod zaměřený bočně, bylo převýšení od počátečního bodu oddílu určeno řešením volného nivelačního pořadu. Zápisník registrovaných dat ve formátu .txt i tabulkový soubor .xls jsou na přiloženém CD.

3.1.1

Apriorní přesnost nivelovaných převýšení

Apriorní přesnost je vyjádřena směrodatnou odchylkou převýšení určeného průměrem z měření »tam« a »zpět« podle vztahu: 𝜎ℎ = 𝜎0 ×

√︁

𝑅𝑘𝑚

,

(3.1)

kde 𝜎ℎ je směrodatná odchylka převýšení z obousměrné nivelace, 𝜎0 je směrodatná jednotková kilometrová odchylka obousměrné nivelace charakterizující přesnost použitého přístroje, 𝑅𝑘𝑚 je délka nivelačního oddílu v kilometrech. Nahrazením směrodatné odchylky 𝜎0 ve vzorci 3.1 hodnotou směrodatné od√ chylky jednosměrné nivelace 𝜎0′ = 𝜎0 × 2 je případně možné určit přesnost jedenkrát nivelovaného převýšení. Nivelační oddíly jsou pro účel následného vyrovnání sdružovány do větších celků – nivelačních pořadů. Tyto pořady již spojují hlavní body výškové sítě (geotechnické vrty a vybrané geodetické body). Protože jsou však převýšení v hlavních nivelačních pořadech dána součtem převýšení dílčích oddílů, které mohou být měřeny různými přístroji, je korektní určit přesnosti hlavních pořadů nikoliv přímo podle vzorce 3.1,

22

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

nýbrž jednoduchou aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek. To demonstruje následující příklad. ℎ1002,513 = ℎ1002,2416 + ℎ2416,2 + ℎ2,84 + ℎ84,119 + ℎ119,102 + ℎ102,513 𝜎ℎ1002,513 =

√︁

𝜎ℎ21002,2416 + 𝜎ℎ22416,2 + 𝜎ℎ22,84 + 𝜎ℎ284,119 + 𝜎ℎ2119,102 + 𝜎ℎ2102,513

(3.2) (3.3)

Převýšení ℎ1002,513 je dáno sumou převýšení šesti dílčích oddílů, přičemž oddíl mezi body 1002 a 2416 byl měřen klasickým optickomechanických přístrojem a ostatní oddíly digitálním přístrojem. Vypočtou se tedy směrodatné odchylky převýšení v jednotlivých oddílech podle vzorce 3.1 s užitím příslušných přesností přístrojů (uvedených v kapitole 2.4.1) a přesnost převýšení v hlavním pořadu vyjádříme ze vztahu 3.3.

3.1.2

Rozbor přesnosti po měření

Přesná a velmi přesná nivelace patří mezi běžné typy prací, které jsou prováděny podle zavedených technologických postupů s předepsanými podmínkami na přesnost. Neprovádějí se proto u nich standardní rozbory přesnosti po vzoru úloh inženýrské geodézie. Základním kritériem přesnosti měřeného převýšení je mezní odchylka mezi dvakrát nivelovaným převýšením. Měření prováděná klasickým optickomechanickým přístrojem jsou hodnocena mezní odchylkou pro pořady III. řádu České státní nivelační sítě (ČSNS). Tato mezní odchylka je podle [7] vyjádřena hodnotou: Δ𝑀 = 3 ×

√︁

𝑅𝑘𝑚

(3.4)

Metodika použitá při měření digitálním nivelačním přístrojem odpovídala předepsaným postupům pro velmi přesnou nivelaci. Proto i rozdíly převýšení měřených »tam« a »zpět« byly hodnoceny přiměřeně přísněji – mezní odchylkou pro II. řád ČSNS, která podle [7] činí: Δ𝑀 = 2.25 ×

√︁

𝑅𝑘𝑚

(3.5)

Ve vzorcích 3.4 a 3.5 je Δ𝑀 mezní rozdíl dvakrát nivelovaného převýšení a 𝑅𝑘𝑚 je délka nivelačního oddílu v kilometrech.

23

ČVUT v Praze

3.2

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Zpracování trigonometrického měření

3.2.1

Apriorní přesnost TUVR

Vzhledem ke vzájemné poloze bodů 552 a 553 nepřipadala metoda geometrické nivelace ze středu v úvahu. Body jsou oddělené hlubokou přírodní roklí – Dolním Jelením příkopem. Převýšení mezi těmito body bylo proto určeno trigonometricky. Abychom mohli trigonometricky určené převýšení zahrnout do vyrovnání společně s převýšeními nivelovanými, je nutné stanovit apriorní odhad jeho přesnosti, tedy směrodatnou odchylku funkce měřených veličin. Touto funkcí je v našem případě vztah 2.13 pro výpočet převýšení ℎ𝑖𝑗 z oboustranně měřených zenitových úhlů *𝑧𝑖𝑗 , *𝑧𝑗𝑖 a šikmé délky 𝐷𝑖𝑗 .

*

ℎ𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 × sin

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

Mimo chyby systematické, jež se snažíme eliminovat měřickým postupem či početní korekcí, je každé měření zatíženo nevyhnutelnými skutečnými chybami nahodilé povahy. Budou-li tyto chyby dostatečně malé, můžeme je prakticky považovat za diferenciální změny původních správných hodnot a chybu, jakou způsobí ve funkci, určíme totálním diferenciálem. Dle definice zákona hromadění skutečných chyb [8], který je aplikací totálního diferenciálu, je skutečná chyba vypočteného převýšení (obecně funkce) součtem součinů jednotlivých skutečných chyb měřených veličin a příslušných parciálních derivací. Ve vzorci 3.6 je 𝑓 funkční vztah 2.13, 𝜀ℎ𝑖𝑗 skutečná chyba měřeného převýšení, 𝜀𝐷𝑖𝑗 skutečná chyba měřené šikmé délky a 𝜀*𝑧𝑗𝑖 , 𝜀*𝑧𝑖𝑗 skutečné chyby měřených zenitových úhlů. 𝜀ℎ𝑖𝑗 = 𝜀𝐷𝑖𝑗 ×

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 + 𝜀*𝑧𝑗𝑖 × * + 𝜀*𝑧𝑖𝑗 × * 𝜕𝐷𝑖𝑗 𝜕 𝑧𝑗𝑖 𝜕 𝑧𝑖𝑗

(3.6)

Po výpočtu parciálních derivací a jejich dosazením do 3.6 dostáváme: * 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 1 + 𝜀*𝑧𝑗𝑖 × 𝐷𝑖𝑗 × cos × 2 2 2 * 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 1 × 𝐷𝑖𝑗 × cos × 2 2 *

𝜀ℎ𝑖𝑗 = 𝜀𝐷𝑖𝑗 × sin − 𝜀*𝑧𝑖𝑗 *

𝜀ℎ𝑖𝑗 = 𝜀𝐷𝑖𝑗 × sin

* 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 1 𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 + × 𝐷𝑖𝑗 × cos × (𝜀*𝑧𝑗𝑖 − 𝜀*𝑧𝑖𝑗 ) 2 2 2

(3.7)

24

(3.8)

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Jednotlivé parciální derivace ukazují poměr, jakým se jim příslušné skutečné chyby ve funkci uplatňují. Protože však velikost skutečných chyb měřených veličin není známa, přejdeme na zákon hromadění směrodatných odchylek. Jeho platnost je podmíněna tím, aby funkce měla spojité parciální derivace podle jednotlivých proměnných alespoň 2.řádu a aby skutečné chyby proměnných (měřených veličin) měly sudé rozdělení pravděpodobností a byly vzájemně nezávislé. Potom můžeme v totálním diferenciálu jednotlivé původní skutečné chyby nahradit čtverci příslušných směrodatných odchylek a příslušné koeficienty umocnit na druhou. 𝜎ℎ2𝑖𝑗

=

2 𝜎𝐷 𝑖𝑗

× sin

2

(︂ *

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

)︂

1 2 + × 𝐷𝑖𝑗 × cos2 4

(︂ *

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

)︂

× (𝜎*2𝑧𝑗𝑖 + 𝜎*2𝑧𝑖𝑗 ) (3.9)

Pro další odvození předpokládáme, že 𝜎*𝑧𝑗𝑖 ≈ 𝜎*𝑧𝑖𝑗 ≈ 𝜎𝑧 . Neopomenutelnou úvahou je také očekávaná přesnost měřených veličin daných průměrem z pěti skupin. Tato přesnost by z formálního hlediska měla být určena aplikací zákona hromadění √ směrodatných odchylek (𝜎𝑧5 = 𝜎𝑧 / 5), nicméně při měření moderní automatizovanou totální stanicí se zdá být reálnější předpoklad, že přesnost měřených veličin se s rostoucím počtem skupin příliš nezlepšuje. Proto pokládáme 𝜎𝑧5 = 𝜎𝑧 a 𝜎𝐷5 = 𝜎𝐷 . Výsledná směrodatná odchylka převýšení se tedy vypočte: √︃

𝜎ℎ𝑖𝑗 =

2 𝜎𝐷 𝑖𝑗

× sin

2

(︂ *

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

)︂

1 2 × cos2 + × 𝐷𝑖𝑗 2

(︂ *

𝑧𝑗𝑖 − *𝑧𝑖𝑗 2

)︂

× 𝜎𝑧2

(3.10)

Pro vyčíslení byly použity průměrné hodnoty měřených veličin z etapy podzim 2011: *

𝑧𝑗𝑖 = 104.22355 𝑔𝑜𝑛 ,

*

𝑧𝑖𝑗 = 95.77748 𝑔𝑜𝑛 ,

𝐷𝑖𝑗 = 96.4357 𝑚

a charakteristiky přesnosti použitého přístroje uvedené v kapitole 2.4.2. S použitím těchto hodnot dostáváme výslednou směrodatnou odchylku oboustranně měřeného převýšení 𝜎ℎ552,553 = 0.33 𝑚𝑚 . Pro úplnost je nutné zmínit vliv nepřesnosti měření výšky hranolu a přístroje nad pozorovanými body. Tyto výšky byly určeny strojírenským hloubkoměrem s udanou přesností 0.05 mm. Je tedy zřejmé, že přesnost určení výšky přístroje a cíle na stanoviscích nemá prakticky žádný vliv na přesnost výsledného převýšení a jeho zahrnutí do výpočtu apriorní přesnosti převýšení by bylo bezpředmětné. Zákon hromadění skutečných chyb a směrodatných odchylek je komplexně podán např. v [8] nebo [9].

25

ČVUT v Praze

3.3

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Vyrovnání sítě

3.3.1

Metoda nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je v matematické statistice nejrozšířenější metodou vyrovnání. Spočívá ve stanovení nejspolehlivějšího odhadu neznámých parametrů, resp. měřených veličin a jejich přesností. Položme dva základní předpoklady: 1. měření jsou zatížena pouze náhodnými chybami, jejichž výskyt se řídí normálním rozdělením; 2. měření jsou vzájemně nezávislá. Provedeme-li 𝑛 měření (𝑙1 , 𝑙2 , . . . , 𝑙𝑛 ) určité veličiny, jejíž skutečná (pravá) hodnota je 𝐿, můžeme skutečné chyby 𝜀𝑖 jednotlivých měření zapsat jako: 𝜀𝑖 = 𝐿 − 𝑙𝑖

(3.11)

Označíme-li dále vyrovnanou hodnotu měřené veličiny ^𝑙, platí pro opravy 𝑣𝑖 jednotlivých měření: 𝑣𝑖 = ^𝑙 − 𝑙𝑖

(3.12)

Vyrovnaná hodnota ^𝑙 bude statisticky nejpravděpodobnějším odhadem skutečné hodnoty 𝐿. Opravy 𝑣𝑖 mají charakter náhodných veličin, jejichž rozdělení pravděpodobnosti se řídí Gaussovým normálním rozdělením 𝑁 (0, 𝜎𝑖 ). Hustota pravděpodobnosti rozdělení 𝑁 (0, 𝜎𝑖 ) je podle [9] dána frekvenční funkcí: −1 1 𝑓 (𝑣𝑖 ) = √ e 2 𝜎𝑖 2𝜋

(︁ )︁2 𝑣𝑖 𝜎𝑖

(3.13)

Protože opravy jsou vzájemně nezávislé, můžeme hustotu pravděpodobnosti zapsat součinem dílčích frekvenčních funkcí: 𝑓 (𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑛 ) =

1 √

𝜎1 2𝜋 (︃

=

1 √ 2𝜋

e

− 12

)︃𝑛 (︂

(︁

𝑣1 𝜎1

)︁2

× ... ×

1 1 ··· 𝜎1 𝜎𝑛

26

1 𝑣𝑛 2 1 √ e− 2 ( 𝜎𝑛 ) 𝜎𝑛 2𝜋

)︁2 𝑛 (︁ )︂ − 1 ∑︀ 𝑣𝑖 2 𝜎

e

𝑖=1

𝑖

(3.14)

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Funkce 3.14 nabývá maxima, je-li její exponent minimální: 𝑛 ∑︁ 𝑣𝑖2 𝑖=1

𝜎𝑖2

⇒ 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

(3.15)

Do výrazu 3.15 zavedeme libovolnou konstantu 𝜎0 , která výsledek kritéria nejmenších čtverců nezmění: 𝑛 ∑︁ 𝜎02 𝑣𝑖2 𝑖=1

Podíl 𝑝𝑖 =

𝜎𝑖2

⇒ 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

(3.16)

𝜎02 nazveme vahou měření a podmínka 3.16 má potom známý tvar: 𝜎𝑖2 𝑛 ∑︁

𝑝𝑖 𝑣𝑖2 = 𝑣 𝑇𝑃 𝑣 ⇒ 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 ,

(3.17)

𝑖=1

kde 𝑣 je vektor oprav a 𝑃 je váhová matice. Z podmínky minimalizace čtverců oprav 3.17 se vychází při výpočtu vyrovnání MNČ.

3.3.2

Vyrovnání zprostředkujících měření

Kritérium MNČ 3.17 se v geodézii nejčastěji aplikuje na vyrovnání měření zprostředkujících – tedy takových měřených veličin, které lze zapsat jako funkci hledaných neznámých parametrů. ^ vektor měřených veličin Označme vektor vyrovnaných hodnot měřených veličin 𝑙, 𝑙 a vektor neznámých parametrů 𝑥. Vztah 3.12 pro výpočet oprav můžeme potom zapsat ve vektorovém tvaru: ^ 𝑇) − 𝑙 𝑣 = 𝑙(𝑥

(3.18)

Pro rovnici 3.18 požadujeme splnění kritéria 3.17. Funkční vztahy vyjadřující závislost mezi měřenými veličinami a neznámými parametry mohou být obecně nelineární. K výpočtu hledaných neznámých parametrů je však potřeba mít rovnice oprav v lineárním tvaru. Linearizaci provedeme rozvojem vztahu 3.18 v Taylorovu řadu s omezením na členy prvního řádu. K tomu účelu je nutné stanovit přibližné hodnoty neznámých 𝑥0 , v nichž budou funkce Taylorovým polynomem aproximovány. Rozvoj se zanedbáním členů druhého a vyšších řádů má tvar: ^ 𝑇 ⃒ ^ 𝑇 ) − 𝑙 + 𝜕 𝑙(𝑥 ) ⃒⃒ 𝑑𝑥 , 𝑣 = 𝑙(𝑥 0 𝜕𝑥𝑇 ⃒𝑥0 ⃒

kde 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 je vektor přírůstků.

27

(3.19)

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Parciální derivace funkčních vztahů podle jednotlivých neznámých parametrů mají maticový zápis: ⎛

𝜕^ 𝑙1 (𝑥𝑇 ) ⎜ 𝜕𝑥1

⎜ ^ 𝑇 ) ⃒⃒ 𝜕 𝑙(𝑥 ⎜ ⎜ = ⃒ 𝜕𝑥𝑇 ⃒𝑥0 ⎜ ⎝ ⃒

.. .

𝜕^ 𝑙𝑛 (𝑥𝑇 ) 𝜕𝑥1



𝜕^ 𝑙1 (𝑥𝑇 ) 𝜕𝑥𝑘 ⎟

... .. . ...

.. .

𝜕^ 𝑙𝑛 (𝑥𝑇 ) 𝜕𝑥𝑘

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

=𝐴

(3.20)

𝑥0

Matice 𝐴 je nazývána maticí plánu a má rozměr (𝑛 × 𝑘), kde 𝑛 je počet měřených veličin (odpovídá počtu funkčních vztahů) a 𝑘 je počet zvolených neznámých parametrů. V rovnici 3.19 se výraz: ^ 𝑇 ) − 𝑙 = 𝑙′ 𝑙(𝑥 0

(3.21)

nazývá vektor redukovaných měření a vektor oprav potom zapisujeme: 𝑣 = 𝐴 𝑑𝑥 + 𝑙′

(3.22)

Kritérium MNČ 3.17 splníme, bude-li platit: 𝜕𝑣 𝑇𝑃 𝑣 =0 𝜕𝑑𝑥

(3.23)

𝜕𝑣 𝑇𝑃 𝑣 𝜕𝑣 = 2𝑃 𝑣 = 𝐴𝑇 2𝑃 𝑣 = 0 𝜕𝑑𝑥 𝜕𝑑𝑥𝑇

(3.24)

Po dosazení za 𝑣 z rovnice 3.22 dostáváme systém normálních rovnic: 𝐴𝑇 𝑃 𝐴 𝑑𝑥 + 𝐴𝑇 𝑃 𝑙′ = 0

(3.25)

Symetrickou matici 𝐴𝑇 𝑃 𝐴 označíme 𝑁 a vektor 𝐴𝑇 𝑃 𝑙′ označíme 𝑛. Řešením normálních rovnic je potom vektor vyrovnaných přírůstků: 𝑑𝑥 = −𝑁 −1 𝑛 ,

(3.26)

pomocí kterých vypočteme vyrovnané hodnoty hledaných parametrů: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑑𝑥

(3.27)

Z vyrovnaných přírůstků se dále určí opravy dle vzorce 3.22 a následně vyrovnané hodnoty měřených veličin: 𝑙^ = 𝑙 + 𝑣

28

(3.28)

ČVUT v Praze

3.3.3

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Charakteristiky přesnosti

Z daného výběru 𝑛 oprav vypočteme aposteriorní odhad jednotkové směrodatné odchylky podle vzorce: √︃

𝜎 ^0 =

𝑣 𝑇𝑃 𝑣 𝑛−𝑘

,

(3.29)

kde (𝑛 − 𝑘) je počet stupňů volnosti (počet nadbytečných měření). Hodnota 𝜎 ^0 je náhodná a je empirickým odhadem směrodatné odchylky měření o váze 𝑝 = 1. Směrodatné odchylky vyrovnaných neznámých parametrů vypočteme: 𝜎𝑥𝑖 = 𝜎 ^0

√︁

𝑄𝑥𝑖𝑖

,

(3.30)

kde 𝑄𝑥𝑖𝑖 jsou prvky hlavní diagonály kovarianční matice 𝑄𝑥 , pro kterou platí: 𝑄𝑥 = 𝑁 −1

(3.31)

Směrodatné odchylky vyrovnaných měřených veličin vypočteme: 𝜎^𝑙𝑖 = 𝜎 ^0

√︁

𝑄^𝑙𝑖𝑖

,

(3.32)

kde 𝑄^𝑙𝑖𝑖 jsou prvky hlavní diagonály kovarianční matice 𝑄𝑙^ , pro kterou platí: 𝑄𝑙^ = 𝐴𝑁 −1 𝐴𝑇

(3.33)

Směrodatné odchylky vyrovnaných neznámých parametrů a vyrovnaných měřených veličin je také možné vypočítat na základě apriorní jednotkové směrodatné odchylky 𝜎0 , jež byla zavedena ve vzorci 3.16. Apriorní směrodatnou odchylku užijeme v případě, je-li její hodnota známa, nebo v situacích, kdy síť disponuje nízkým počtem stupňů volnosti (empirický odhad 𝜎 ^0 není potom dostatečně spolehlivý).

3.3.4

Aplikace MNČ na vyrovnání výškové sítě

Označme vektor nivelovaných převýšení 𝑙 (vektor zprostředkujících veličin) a vektor výšek jednotlivých bodů sítě 𝑥 (vektor zvolených neznámých parametrů). ^ 𝑇 ) v rovnici 3.18 již lineární, není potřeba volit přibližné Protože jsou funkce 𝑙(𝑥 hodnoty neznámých parametrů a rovnice oprav 3.22 potom dostává tvar: 𝑣 = 𝐴𝑥 − 𝑙

29

(3.34)

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Aplikací kritéria MNČ 3.17 na rovnici oprav 3.34 získáváme soustavu normálních rovnic: 𝑁𝑥=𝑛 ,

(3.35)

jejímž řešením je přímo vektor vyrovnaných výšek bodů: 𝑥 = 𝑁 −1 𝑛

(3.36)

Zvolíme-li za neznámé parametry výšky všech bodů v síti, matice plánu 𝐴 nebude mít, s ohledem na tvar funkčních vztahů, plnou hodnost. Potom i matice soustavy normálních rovnic 𝑁 = 𝐴𝑇 𝑃 𝐴 bude singulární (determinant |𝑁 | = 0) a její inverze 𝑁 −1 tedy neexistuje. Jedním ze způsobů řešení této volné sítě je fixace výšky některého z bodů na zvolené hodnotě 𝐻𝑓 𝑖𝑥 . To provedeme pomocí tzv. »pseudoměření1 «. Pro pseudoměření (fixovanou výšku zvoleného bodu) standardně sestavíme matici plánu 𝐴𝑓 𝑖𝑥 . V našem případě půjde pouze o řádkový vektor rozměru 𝑘 (𝑘 je počet neznámých parametrů), který obsahuje samé 0 a jednu 1 na pozici, na které se nachází fixovaný bod ve vektoru 𝑥. Fixované výšce z formálních důvodů přisoudíme nenulovou směrodatnou odchylku 𝜎𝐻𝑓 𝑖𝑥 a váhovou maticí pseudoměření je pak pouze skalár: 𝑃𝑓 𝑖𝑥 =

𝜎02 2 𝜎𝐻 𝑓 𝑖𝑥

(3.37)

Výsledná matice soustavy normálních rovnic, kterou lze již invertovat, má tvar: 𝑁 = 𝐴𝑇 𝑃 𝐴 + 𝐴𝑇𝑓 𝑖𝑥 𝑃𝑓 𝑖𝑥 𝐴𝑓 𝑖𝑥

(3.38)

Analogicky sestavíme i vektor soustavy normálních rovnic: 𝑛 = 𝐴𝑇 𝑃 𝑙 + 𝐴𝑇𝑓 𝑖𝑥 𝑃𝑓 𝑖𝑥 𝐻𝑓 𝑖𝑥

(3.39)

Vyrovnané výšky bodů sítě dostaneme řešením soustavy podle vzorce 3.36 a příslušné charakteristiky přesnosti podle kapitoly 3.3.3. 1

Pseudoměření se typicky využívá v případě singularity systému normálních rovnic. Aplikace,

kdy požadujeme fixovat hodnotu některé z neznámých na předem určené hodnotě, se nazývá constraint (přinucení, nátlak). Není vhodné přisuzovat pseudoměření neúměrně vysoké váhy, v opačném případě se systém může stát numericky nestabilním.

30

ČVUT v Praze

3.3.5

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Vyrovnání v programu Gama

K vyrovnání měření byl použit program gama-local-1.11. GNU Gama je volně distribuovaný software, který slouží k vyrovnání geodetických sítí. V současné době program plně podporuje vyrovnání sítí v lokálním kartézském systému (program gama-local); vyrovnání v geocentrické souřadné soustavě je zatím podporováno pouze částečně (program gama-g3). Na domovských stránkách projektu http://www.gnu.org/software/gama/ jsou k dispozici odkazy ke stažení programu a dokumentace. Gama zpracovává příkazy v dávkovém XML souboru, jehož struktura je detailně popsána v dokumentaci k programu [10]. Kompletní dávka použitá k vyrovnání etapy podzim 2011 je uvedena v příloze B; výstupní XML soubor s výsledky vyrovnání je uložen na přiloženém CD. Volbu vah měřených veličin je při vyrovnání výškové sítě možno provést několika způsoby, jak uvádí [11]. V našem případě jsou váhy jednotlivých převýšení ℎ𝑖𝑗 vypočteny podle vzorce: 𝑝ℎ𝑖𝑗

𝜎02 = 2 𝜎ℎ𝑖𝑗

,

(3.40)

kde 𝜎0 je apriorní jednotková směrodatná odchylka a směrodatné odchylky 𝜎ℎ𝑖𝑗 jsou vypočteny podle postupu popsaného v kapitole 3.1.1. Takováto volba vah je v dávkovém souboru zajištěna zadáním směrodatné odchylky převýšení v každém jednotlivém pořadu; hodnota apriorní jednotkové směrodatné odchylky byla zvolena jako 𝜎0 = 1 𝑚𝑚. Charakteristiky přesnosti plynoucí ze zavedení podmínky MNČ byly vypočteny na základě apriorní jednotkové směrodatné odchylky, viz kapitola 3.3.3. 𝑓 𝑖𝑥 Fixním bodem byl při vyrovnání bod 1001 se zvolenou výškou 𝐻1001 = 100.0000 𝑚.

Výpočet vyrovnání byl kontrolně proveden i pomocí vlastního skriptu, který byl zpracován programem Octave. Postup výpočtu byl při psaní skriptového souboru shodný s postupem popsaným v kapitole 3.3.4. Váhovou maticí je diagonální matice, kde prvky hlavní diagonály (váhy) jsou vypočteny podle vzorce 3.40. Výška bodu 𝑓 𝑖𝑥 1001 byla opět fixována pomocí pseudoměření na hodnotě 𝐻1001 = 100.0000 𝑚 se

směrodatnou odchylkou 𝜎𝐻 𝑓 𝑖𝑥 = 0.01 𝑚𝑚. Skriptový soubor je taktéž uložen na 1001

31

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

přiloženém CD a jeho spuštěním v programu Octave je možné ověřit shodu s výsledky plynoucími z vyrovnání v programu Gama.

3.3.6

Shrnutí výsledků vyrovnání Tab. 3.1: Obecné parametry vyrovnání počet měření počet parametrů počet stupňů volnosti apriorní jednotková směrodatná odchylka aposteriorní jednotková směrodatná odchylka použitá jednotková směrodatná odchylka

13 11 2 𝜎0 = 1 𝑚𝑚 𝜎 ^0 = 1.904 𝑚𝑚 apriorní

Tab. 3.2: Vyrovnané výšky bodů a jejich směrodatné odchylky etapa bod 501 513 552 553 1001 1002 1003 1004 1004𝑎 1005 1011 1012

podzim 2011 𝐻𝑖 [𝑚] 𝜎𝐻𝑖 [𝑚𝑚] 83.10750 0.33 88.40612 0.33 84.34122 0.32 77.95374 0.19 100.00000 – 100.67012 0.34 84.86884 0.36 98.18216 0.12 98.45728 0.16 81.93670 0.34 100.18832 0.30 79.78258 0.18

32

ČVUT v Praze

3.4

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Zhodnocení výsledků

Z tabulky 3.1 je patrné, že aposteriorní odhad jednotkové směrodatné odchylky 𝜎 ^0 je téměř dvojnásobkem jednotkové směrodatné odchylky apriorní 𝜎0 . Je však potřeba mít na paměti, že hodnota 𝜎 ^0 je náhodná a je závislá na náhodném střetnutí hodnot skutečných chyb měření 𝜀1 , . . . , 𝜀𝑛 . Provedeme proto testování hypotézy o varianci 𝜎02 v základním souboru s normálním rozdělením.

3.4.1

Test aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky

Testujeme hypotézu, že náhodný výběr s výběrovou směrodatnou odchylkou 𝜎 ^0 je proveden ze základního souboru se směrodatnou odchylkou 𝜎0 . Nulovou hypotézou 𝐻0 , resp. alternativní hypotézou 𝐻1 je: 𝐻0 : 𝜎𝑧á𝑘𝑙𝑎𝑑. = 𝜎0

(3.41)

𝐻1 : 𝜎𝑧á𝑘𝑙𝑎𝑑. ̸= 𝜎0

(3.42)

Testovacím kritériem je veličina: 𝜒2 =

𝜏 2 𝜎 ^ 𝜎02 0

(3.43)

,

která má 𝜒2 rozdělení pravděpodobnosti s 𝜏 = (𝑛 − 𝑘) stupni volnosti. Hodnota 𝜎 ^02 je vyčíslena podle vzorce 3.29; hodnota 𝜎0 odpovídá volbě apriorní jednotkové směrodatné odchylky. Pro hladinu významnosti 𝛼 = 5 % vyhledáme tabelované kritické hodnoty 𝜒2 rozdělení. Nulová hypotéza nebude zamítnuta v případě, platí-li nerovnost: √︃

𝜒21−𝛼/2,𝜏 𝜏

𝜎 ^0 < < 𝜎0

√︃

𝜒2𝛼/2,𝜏 𝜏

(3.44)

Po dosazení dostáváme: 0.159 < 1.904 < 1.921 Hodnota testovacího kritéria spadá do intervalu spolehlivosti (0.159, 1.921); testovanou hypotézu 𝐻0 proto nezamítáme na hladině významnosti 𝛼 = 5 %.

33

ČVUT v Praze

3.4.2

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Testování uzávěrů v nivelačních polygonech

Síť nyní podrobíme bližšímu zkoumání a otestujeme výškové uzávěry v uzavřených nivelačních polygonech. Testovanou nulovou hypotézou 𝐻0 , resp. alternativní hypotézou 𝐻1 je:

∑︀

kde 𝐸(𝑈 ) = 𝐸(

𝐻0 : 𝐸(𝑈 ) = 0

(3.45)

𝐻1 : 𝐸(𝑈 ) ̸= 0 ,

(3.46)

ℎ𝑖𝑗 ) je střední hodnota uzávěru 𝑈 . Testovacím kritériem je veličina

𝑡, pro kterou platí: 𝑡=

𝑈 𝜎𝑈

(3.47)

,

kde 𝜎𝑈 je směrodatná odchylka uzávěru. Rozdělení pravděpodobnosti testovacího kritéria 3.47 se řídí normovaným normálním rozdělením N(0,1). 𝑈 ∼ 𝑁 (0, 1) 𝜎𝑈

(3.48)

Mezní hodnota 𝑢𝑝 se určí pro danou pravděpodobnost 𝑃 = 95 % z integrálu: 𝑃 =2

∫︁𝑢𝑝 0

1 2 1 √ e− 2 𝑡 d𝑡 , 2𝜋

(3.49)

či jako tabelovaný kvantil spojité náhodné veličiny 𝑡 s rozdělením 𝑁 (0, 1). Není-li splněna podmínka 𝑡 ≤ 𝑢𝑝 , nulovou hypotézu 𝐻0 zamítneme. Přívětivějším způsobem testování jednorozměrné veličiny, který se v geodézii zpravidla používá a na který se výše popsaný test převádí, je testování pomocí mezní hodnoty. Testovacím kritériem je pak přímo vypočtený uzávěr a kritická (mezní) hodnota vychází ze základního vztahu mezi směrodatnou odchylkou a mezní odchylkou, který podle [12] je: Δ𝑈𝑀 = 𝑢𝑝 × 𝜎𝑈

,

(3.50)

kde Δ𝑈𝑀 je mezní hodnota uzávěru a kvantil 𝑢𝑝 je zde nazýván koeficientem spolehlivosti. Pro oboustranný test z podmínky 𝑃 (|𝑈 | < 𝑢𝑝 × 𝜎𝑈 ) = 1 − 𝛼 vyplývá, že uzávěr by měl splňovat nerovnost: (𝜎𝑈 × 𝑢𝛼/2 ) < 𝑈 < (𝜎𝑈 × 𝑢1−𝛼/2 )

34

(3.51)

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Pro zvolenou hladinu významnosti 𝛼 = 5 % jsou kvantily 𝑢𝛼/2 = −1.960, resp. 𝑢1−𝛼/2 = 1.960. Směrodatné odchylky uzávěrů 𝜎𝑈 vypočteme ze známých směrodatných odchylek převýšení 𝜎ℎ𝑖𝑗 v jednotlivých pořadech aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek: 𝜎𝑈2 =

∑︁

𝜎ℎ2𝑖𝑗

(3.52)

Tab. 3.3: Uzávěry nivelačních polygonů a jejich směrodatné odchylky

pořad 1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1001 1001 → 1011 ∑︀

1011 → 1001 1001 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 ∑︀

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 ∑︀

SEVERNÍ OKRUH ℎ𝑖𝑗 [𝑚] 𝜎ℎ𝑖𝑗 [𝑚𝑚] 0.48204 0.29 −12.26426 0.27 −4.06496 0.12 −6.38789 0.33 1.82883 0.06 20.21740 0.19 0.18819 0.42 U = −0.65 mm 𝜎U = 0.71 mm

𝑅𝑖𝑗 [𝑘𝑚] 0.17600 0.50918 0.15513 0.09622 0.04338 0.41619 0.35610 𝑅 = 1.752 𝑘𝑚

JIŽNÍ OKRUH −0.18819 0.42 −20.21740 0.19 5.08571 0.43 15.31895 0.42 U = −0.93 mm 𝜎U = 0.76 mm

0.35610 0.41619 0.37490 0.35990 𝑅 = 1.507 𝑘𝑚

CELÝ OKRUH 0.48204 0.29 −12.26426 0.27 −4.06496 0.12 −6.38789 0.33 1.82883 0.06 5.08571 0.43 15.31895 0.42 U = −1.58 mm 𝜎U = 0.80 mm

0.17600 0.50918 0.15513 0.09622 0.04338 0.37490 0.35990 𝑅 = 1.715 𝑘𝑚

35

ČVUT v Praze

3. ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÝCH DAT

Tab. 3.4: Uzávěry nivelačních polygonů a jejich mezní hodnoty

𝑢𝑝 = 1.960 𝜎𝑈 Δ𝑈𝑀 𝑈 𝐻0 zamítáme

OKRUH JIŽNÍ 0.76 𝑚𝑚 1.49 𝑚𝑚 −0.93 𝑚𝑚 NE

SEVERNÍ 0.71 𝑚𝑚 1.39 𝑚𝑚 −0.65 𝑚𝑚 NE

CELÝ 0.80 𝑚𝑚 1.57 𝑚𝑚 −1.58 𝑚𝑚 ANO

Pro celý okruh (tj. posloupnost pořadů 1011 → 1002 → 513 → 552 → 553 → 1012 → 1003 → 1011) došlo na základě provedeného statistického testu k zamítnutí nulové hypotézy 𝐸(𝑈 ) = 0. Protože je však hodnota testovaného uzávěru velice blízká mezní hodnotě, provedeme ještě testování pomocí p-hodnoty. P-hodnota kvantifikuje pravděpodobnost realizace hodnoty testovacího kritéria, pokud nulová hypotéza 𝐻0 platí. Výsledek testovacího kritéria v případě celého okruhu činí: 𝑡=

𝑈 −1.58 𝑚𝑚 = = −1.975 𝜎𝑈 0.80 𝑚𝑚

(3.53)

P-hodnotu vypočteme ze vztahu: 𝑝 = 2 · min{Φ(𝑡); 1 − Φ(𝑡)} ,

(3.54)

kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0,1), pro kterou platí: Φ(𝑡) =

∫︁𝑡

1 2 1 √ e− 2 𝑡 d𝑡 2𝜋 −∞

(3.55)

Příkazem normcdf(-1.58/0.80) v programu Octave zjistíme hodnotu distribuční funkce a výsledná p-hodnota je po dosazení do 3.54 rovna p = 0.0483. Význam tohoto výsledku je takový, že pokud by test byl proveden na hladině významnosti o 0.2 % nižší, testovanou nulovou hypotézu bychom ještě nezamítli. Ačkoliv se tedy podle konvenčních kritérií jedná o statisticky signifikantní vzorek, výsledek testu by již při nepatrném snížení hladiny významnosti byl jiný a zamítnutí tedy nepovažujeme za jisté.

36

ČVUT v Praze

4

4. ANALÝZA VERTIKÁLNÍCH POSUNŮ

Analýza vertikálních posunů

Svislým posunem bodu se rozumí prokázaný rozdíl ve výšce bodu mezi základní etapou a některou z dalších etap měření. Základní etapa byla zaměřena na jaře roku 2008; doposud bylo zaměřeno (včetně základní etapy) 7 etap. Testovány byly rozdíly měřených převýšení a dále rozdíly vyrovnaných výšek bodů sítě.

4.1

Testování rozdílů měřených převýšení (0)

Označíme-li převýšení mezi body 𝑗 a 𝑘 zaměřené v základní etapě jako ℎ𝑗𝑘 a převý(𝑖)

šení zaměřené v 𝑖-té etapě jako ℎ𝑗𝑘 , vypočteme rozdíl těchto převýšení podle vzorce: (𝑖)

(𝑖)

(0)

𝛿𝑗𝑘 = ℎ𝑗𝑘 − ℎ𝑗𝑘

(4.1)

Nulovou hypotézou 𝐻0 , resp. alternativní hypotézou 𝐻1 je: (𝑖)

(4.2)

(𝑖)

(4.3)

𝐻0 : 𝐸(𝛿𝑗𝑘 ) = 0 𝐻1 : 𝐸(𝛿𝑗𝑘 ) ̸= 0 , (𝑖)

kde 𝐸(𝛿𝑗𝑘 ) je střední hodnota rozdílu převýšení. Testovací kritérium 𝑡 má tvar: (𝑖)

𝛿 𝑡 = 𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖)

,

(4.4)

𝑗𝑘

kde 𝜎𝛿(𝑖) je směrodatná odchylka rozdílu převýšení. Za předpokladu, že převýšení 𝑗𝑘

ℎ𝑗𝑘 bylo ve všech etapách určeno se stejnou přesností 𝜎ℎ𝑗𝑘 , můžeme psát: 𝜎𝛿𝑗𝑘 =



2 × 𝜎ℎ𝑗𝑘

(4.5)

Rozdělení pravděpodobnosti testovacího kritéria 4.4 se řídí normovaným normálním rozdělením.

(𝑖)

𝛿𝑗𝑘 ∼ 𝑁 (0, 1) 𝜎𝛿𝑗𝑘

(4.6)

95%-ní kvantil 𝑢𝑝 veličiny 𝑡 vypočteme opět z integrálu 3.49 nebo ho určíme z tabulek [9]. Obdobně jako v případě testování uzávěrů nivelačních polygonů provedeme test

37

ČVUT v Praze

4. ANALÝZA VERTIKÁLNÍCH POSUNŮ

pomocí mezní hodnoty, resp. mezního rozdílu. Testovacím kritériem je potom přímo (𝑖)

vypočtený rozdíl 𝛿𝑗𝑘 , pro který, s odkazem na 3.50, požadujeme splnění nerovnosti: (𝑖)

(𝜎𝛿𝑗𝑘 × 𝑢𝛼/2 ) < 𝛿𝑗𝑘 < (𝜎𝛿𝑗𝑘 × 𝑢1−𝛼/2 ) ,

(4.7)

kde součin 𝜎𝛿𝑗𝑘 × 𝑢1−𝛼/2 = Δ𝛿𝑗𝑘 je mezní rozdíl převýšení. Pro zvolenou hladinu významnosti 𝛼 = 5 % jsou kvantily 𝑢𝛼/2 = −1.960, resp. 𝑢1−𝛼/2 = 1.960. Výpočet a následné grafické vizualizování rozdílů převýšení vztažených k základní etapě (jaro 2008) bylo provedeno pomocí programu GNU Octave a jeho funkce plot. Skriptové m-soubory, jejichž spuštěním program Octave grafy generuje, jsou uloženy na přiloženém CD. Přehled všech grafů je v příloze C.2. Tabulky s číselnými výsledky testování rozdílů převýšení jsou v příloze C.1.

4.2

Testování posunů bodů

K zachycení kontinuálního vývoje posunů bodů bylo zapotřebí získat vyrovnané výšky bodů ze všech doposud zaměřených etap. K tomu účelu byly sestaveny dávkové XML soubory pro všechny starší etapy a tyto byly následně znovu vyrovnány programem Gama. Struktura dávkových XML souborů je totožná s dávkou v příloze B, přičemž měřeným převýšením byly přisouzeny stejné směrodatné odchylky, které byly použity pro vyrovnání etapy podzim 2011. Tak je možno učinit za předpokladu, že jednotlivé nivelační pořady byly ve všech etapách měřeny stále stejným způsobem, tzn. stejnou metodou, stejným přístrojem a stejnou nivelační cestou. Dávkové XML soubory pro všech 7 etap jsou uloženy na přiloženém CD (včetně výstupních XML souborů s výsledky vyrovnání). Princip testování svislých posunů bodů je analogií postupu testování rozdílů měřených převýšení. Označíme-li vyrovnanou výšku bodu 𝑗 ze základní etapy jako (0)

𝐻𝑗

(𝑖)

a vyrovnanou výšku téhož bodu z 𝑖-té etapy jako 𝐻𝑗 , vypočteme rozdíl výšek: (𝑖)

(𝑖)

(0)

𝛿𝐻𝑗 = 𝐻𝑗 − 𝐻𝑗

38

(4.8)

ČVUT v Praze

4. ANALÝZA VERTIKÁLNÍCH POSUNŮ

Nulovou hypotézou 𝐻0 , resp. alternativní hypotézou 𝐻1 je: (𝑖)

(4.9)

(𝑖)

(4.10)

𝐻0 : 𝐸(𝛿𝐻𝑗 ) = 0 𝐻1 : 𝐸(𝛿𝐻𝑗 ) ̸= 0 , (𝑖)

kde 𝐸(𝛿𝐻𝑗 ) je střední hodnota rozdílu vyrovnaných výšek (svislého posunu). Testovacím kritériem je veličina 𝑡, pro kterou platí: (𝑖)

𝛿𝐻𝑗 𝑡= 𝜎𝛿𝐻𝑗

,

(4.11)

kde 𝜎𝛿𝐻𝑗 je směrodatná odchylka rozdílu vyrovnaných výšek. Testovací kritérium 𝑡 má opět normální rozdělení 𝑁 (0, 1). Jak již bylo zmíněno v úvodu kapitoly, opětovné vyrovnání všech předchozích etap bylo provedeno s užitím stejné váhové matice. S odkazem na vzorce 3.30 a 3.31 proto platí pro směrodatnou odchylku vyrovnané výšky bodu 𝑗: 𝜎𝐻 (𝑖) = 𝜎𝐻 (0) = 𝜎𝐻𝑗 𝑗

(4.12)

𝑗

Směrodatnou odchylku rozdílu výšek (svislého posunu) vypočteme aplikací zákona hromadění směrodatných odchylek: 𝜎𝛿𝐻𝑗 =

√ 2 × 𝜎𝐻𝑗

(4.13)

Výsledek testovacího kritéria porovnáme s mezní hodnotou 𝑢𝑝 vypočtenou z integrálu 3.49 pro danou pravděpodobnost 𝑃 = 95 % nebo 𝑢𝑝 určíme jako tabelovaný kvantil spojité náhodné veličiny 𝑡 s rozdělením 𝑁 (0, 1). Testování opět s výhodou provedeme pomocí mezního rozdílu; pro vypočtený (𝑖)

svislý posun 𝛿𝐻𝑗 tedy požadujeme splnění nerovnosti: (𝑖)

(𝜎𝛿𝐻𝑗 × 𝑢𝛼/2 ) < 𝛿𝐻𝑗 < (𝜎𝛿𝐻𝑗 × 𝑢1−𝛼/2 ) ,

(4.14)

kde součin 𝜎𝛿𝐻𝑗 × 𝑢1−𝛼/2 = Δ𝛿𝐻𝑗 je mezní rozdíl výšek (mezní hodnota svislého posunu). Pro zvolenou hladinu významnosti 𝛼 = 5 % jsou kvantily 𝑢𝛼/2 = −1.960, resp. 𝑢1−𝛼/2 = 1.960. Není-li nerovnost 4.14 splněna, nulovou hypotézu 𝐻0 zamítáme. Grafy znázorňující průběh rozdílů výšek byly opět vygenerovány programem Octave; tyto grafy jsou obsahem přílohy D.2. Skriptové m-soubory spustitelné programem Octave jsou uloženy na přiloženém CD. Tabulky s číselnými výsledky testování svislých posunů jsou uvedeny v příloze D.1.

39

ČVUT v Praze

ZÁVĚR

Závěr Ve své bakalářské práci jsem se zabýval vztažnou výškovou sítí, která byla vybudována v areálu Pražského hradu za účelem propojení geotechnických vrtů a vybraných geodetických bodů. Pro potřeby této práce jsem se osobně zúčastnil několika nivelačních měření prováděných na podzim roku 2011. Konkrétně jde o všechny nivelační pořady měřené digitálním nivelačním přístrojem kromě pořadů 1001 → 1004 a 1004 → 1004𝑎. Přibližné vedení těchto pořadů je znázorněno v přehledce metod výškových měření, viz příloha A. Cítím proto plnou zodpovědnost za data pořízená v průběhu zmíněných měření. Data z měření pořadů 1001 → 1004 a 1004 → 1004𝑎 jsem převzal od pana Ing. Tomáše Kubína, Ph.D. Jako figurant jsem se dále zúčastnil části nivelačních měření prováděných klasickým optickomechanickým přístrojem. Tato měření zajišťuje pan doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. a data zpracovává a archivuje paní Ing. Lenka Línková, Ph.D., od níž jsem výsledky optické nivelace převzal. Mojí poslední participací na podzimní etapě byla asistence panu Ing. Tomáši Jiřikovskému, Ph.D. při trigonometrickém určování výškového rozdílu mezi body 552 a 553. Výše uvedeným výčtem jsem obsáhl kompletní přehled etapových výškových měření ve vztažné výškové síti Pražského hradu. Samotným zpracováním naměřených dat se zabývám ve třetí kapitole bakalářské práce. Z této kapitoly vyzdvihuji několik hlavních bodů a výsledků. Prvním je přesnost metody trigonometrického určení výškového rozdílu (TUVR). Původní obava z nižší přesnosti této metody (v porovnání s přesnou a velmi přesnou nivelací) se nenaplnila. Jak plyne z kapitoly 3.2.1, směrodatná odchylka trigonometricky určeného převýšení je 𝜎ℎ552,553 = 0.33 𝑚𝑚. Je zřejmé, že převýšení s takovouto očekávanou přesností není slabým článkem sítě určované převážně přesnou nivelací. Další důležité výsledky vyplynuly z vyrovnání sítě metodou nejmenších čtverců. Aposteriorní jednotková směrodatná odchylka 𝜎 ^0 (coby empirický odhad směrodatné

40

ČVUT v Praze

ZÁVĚR

odchylky měření o jednotkové váze) vyšla téměř dvojnásobná oproti apriorní jednotkové směrodatné odchylce 𝜎0 . Bylo proto provedeno testování statistické hypotézy, zda náhodný výběr s výběrovou směrodatnou odchylkou 𝜎 ^0 byl proveden ze základního souboru se směrodatnou odchylkou 𝜎0 . Na základě tohoto testu nebyla nulová hypotéza zamítnuta. Poněkud vyšší hodnotu aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky lze mimo jiné ospravedlnit skutečností, že síť disponuje nízkým počtem stupňů volnosti (2 nadbytečná měření). Dále je potřeba zdůraznit, že hodnota 𝜎 ^0 je náhodná a je závislá na náhodném střetnutí hodnot skutečných chyb měření. Podrobnější zkoumání možných nesrovnalostí v měření bylo provedeno testováním uzávěrů nivelačních polygonů. Celkem byly testovány uzávěry tří hlavních »okruhů«. Posloupnost pořadů tvořících tyto okruhy je uvedena v tabulce 3.3 a výsledky testování s uvedením mezních hodnot uzávěrů v tabulce 3.4. Z výsledků testování vyplývá, že uzávěr tzv. »celého okruhu« (tj. posloupnost pořadů 1011 → 1002 → 513 → 552 → 553 → 1012 → 1003 → 1011) nesplňuje mezní hodnotu; došlo proto k zamítnutí testované nulové hypotézy, že 𝐸(𝑈 ) = 0. Protože však uzávěr jen těsně nevyhovuje mezní hodnotě, byl test proveden ještě pomocí 𝑝-hodnoty. Závěrem je zjištění, že pokud by test byl proveden na hladině významnosti o 0.2 % nižší (než původní zvolená hladina významnosti 𝛼 = 5 %), testovanou nulovou hypotézu bychom ještě nezamítli. To je vskutku hodnota zanedbatelná a ačkoliv se tedy podle konvenčních kritérií jedná o statisticky signifikantní výsledek, zamítnutí nulové hypotézy nepovažuji za jisté. V závěrečné kapitole bakalářské práce se zabývám analýzou vertikálních posunů. Statistickému testování byly podrobeny rozdíly měřených převýšení a dále rozdíly vyrovnaných výšek bodů sítě. Pro tento účel jsem zkompletoval a znovu zpracoval data ze všech doposud zaměřených etap. Testování svislých posunů se týká celkem 11 bodů vztažné sítě (4 vybrané geodetické body, 6 geotechnických vrtů a jeden hloubkově stabilizovaný bod). Kromě bodu 513, u kterého byla provedena změna stabilizace dne 4.5.2009, jsou všechny rozdíly vztaženy k základní etapě jaro 2008. Rozdíly měřených převýšení

41

ČVUT v Praze

ZÁVĚR

a rozdíly vyrovnaných výšek vůči základní etapě jsem graficky vizualizoval v samostatných přílohách; viz přílohy C.2 a D.2. V těchto grafech jsou zároveň vyneseny i mezní hodnoty rozdílů a snadno si tak lze udělat přehled, ve kterých etapách byla prokázána nestabilita bodů. Na základě provedených statistických testů rozhoduji o zamítnutí či nezamítnutí testované nulové hypotézy. V případě zamítnutí nulové hypotézy na hladině významnosti 𝛼 současně přijímám hypotézu alternativní s nejistotou 𝛽 (tj. s pravděpodobností chyby druhého druhu). Bohužel, tento závěr nijak nevypovídá o potvrzení platnosti alternativní hypotézy a nemůžeme z něj tedy vyvodit žádné praktičtější důsledky vyjma tvrzení, že dosažený rozdíl byl pravděpodobně vyvolán »vnějšími vlivy«. Tázání se po příčinách těchto vlivů je pak spíše otázkou pro specialisty z jiných oborů. Významem testování je tedy stanovení takové signifikantní hodnoty rozdílu, která indikuje skutečný posun bodu s určitou pravděpodobností. Zároveň jde o horní hranici rozdílu, který je pouhým výsledkem nahromadění měřických chyb. V kontextu časového vývoje dosažené rozdíly z jednotlivých etap značně kolísají a k zobecněným úsudkům o chování většiny bodů by bylo zřejmě zapotřebí hodnotit delší časový horizont. Ve zpracovávané etapě podzim 2011 byla prokázána nestabilita bodů 501, 513, 553 a vrtů: 1002, 1003. Nejvýraznější výškovou nestabilitu dlouhodobě vykazuje hloubkově stabilizovaný bod 1012 v zahradě Na Opyši.

42

ČVUT v Praze

POUŽITÉ ZDROJE

Použité zdroje [1] Zakládání: Odborný časopis. Praha: Zakládání staveb, a.s., 2003, Ročník XV, 1/2003. ISSN 1212-1711. Dostupné z: http://zakladani.cz/casopis/pdf/ ocz_0103.pdf [2] ZÁLESKÝ, Jan a Svatoslav CHAMRA. Optimalizácia geotechnických konštrukcií: Projekt sledování technického stavu historických budov. Bratislava: STU, 2001, s. 337–341. ISBN 80-227-1545-X. [3] BLAŽEK, Radim a Zdeněk SKOŘEPA. Geodézie 3: Výškopis. Třetí vydání. Praha: ČVUT, 2009. ISBN 978-80-01-04358-5. [4] Geodetický a kartografický obzor: odborný a vědecký časopis ČÚZK. Praha: Vesmír, 2001, ročník 47/89, číslo 2. ISSN 0016-7096. Dostupné z: http://slon. fsv.cvut.cz/~skorezde/refrakce.pdf [5] HRADILEK, Ludvík. Vysokohorská geodézie: trigonometrická nivelace a trojrozměrná terestrická triangulace. První vydání. Praha: Academia, 1984. [6] ČESKÝ NORMALIZAČNÍ INSTITUT. ČSN ISO 17123-3. Optika a optické přístroje – Terénní postupy pro zkoušení geodetických a měřických přístrojů – Část 3: Teodolity. [s.l.] : [s.n.], 2005. [7] ZEMĚMĚŘICKÝ ÚŘAD. Metodický návod pro práce v Základním výškovém bodovém poli. [s.l.] : [s.n.], 2003. [8] BÖHM, Josef. Vyrovnávací počet. První vydání. Praha: SNTL, 1964. [9] HAMPACHER, Miroslav a Vladimír RADOUCH. Teorie chyb a vyrovnávací počet 10. První vydání. Praha: ČVUT, 2000. ISBN 80-01-01704-4. [10] ČEPEK, Aleš. GNU Gama 1.11. 2011. 56 s. Dostupné z: http://www.gnu. org/software/gama/manual/gama.pdf [11] VANĚČEK, Jan. Měření a hodnocení výškové lokální sítě na Pražském hradě. Praha, 2008. Bakalářská práce. FSv ČVUT v Praze. Vedoucí práce Ing. Tomáš Jiřikovský, Ph.D.

43

ČVUT v Praze

POUŽITÉ ZDROJE

[12] NOVÁK, Zdeněk a Jaromír PROCHÁZKA. Inženýrská geodézie 10. Druhé vydání. Praha: ČVUT, 2001. ISBN 80-01-02407-5.

44

Seznam obrázků 1.1

Realizace vztažného bodu ve zhlaví vrtu . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1

Geometrická nivelace ze středu

2.2

TUVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Förstnerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4

Trimble S6 HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Seznam tabulek 1.1

Geotechnické vrty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.1

Obecné parametry vyrovnání

3.2

Vyrovnané výšky bodů a jejich směrodatné odchylky . . . . . . . . . 32

3.3

Uzávěry nivelačních polygonů a jejich směrodatné odchylky . . . . . . 35

3.4

Uzávěry nivelačních polygonů a jejich mezní hodnoty . . . . . . . . . 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

C.1 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2008 . . . . . . . . . . . . . 50 C.2 Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 51 C.3 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2009 . . . . . . . . . . . . . 52 C.4 Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2010 . . . . . . . . . . . . . . . 53 C.5 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2010 . . . . . . . . . . . . . 54 C.6 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2011 . . . . . . . . . . . . . 55 D.1 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2008 . . . . . . . 57 D.2 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2009 . . . . . . . . . 58 D.3 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2009 . . . . . . . 59 D.4 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2010 . . . . . . . . . 60 D.5 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2010 . . . . . . . 61 D.6 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2011 . . . . . . . 62

ČVUT v Praze

SEZNAM PŘÍLOH

Seznam příloh A Přehled metod výškových měření

48

B Dávkový XML soubor

49

C Testování rozdílů měřených převýšení

50

C.1 Tabulky s výsledky testování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 C.2 Grafické vizualizování rozdílů převýšení . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 D Testování posunů bodů

57

D.1 Tabulky s výsledky testování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 D.2 Grafické vizualizování posunů bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

47

ČVUT v Praze

A

A. PŘEHLED METOD VÝŠKOVÝCH MĚŘENÍ

Přehled metod výškových měření

48

ČVUT v Praze

B

B. DÁVKOVÝ XML SOUBOR

Dávkový XML soubor

Nivelace - etapa podzim 2011

= = = =

"1.000" "0.950" "1000.000" "apriori"



val="0.481485" val="-12.264262" val="-4.064955" val="-1.233725" val="-1.170800" val="-6.387890" val="1.828830" val="5.085706" val="15.318952" val="-0.188193" val="-1.817845" val="0.275125" val="-20.217395"

49

stdev="0.29"/> stdev="0.27"/> stdev="0.12"/> stdev="0.06"/> stdev="0.10"/> stdev="0.33"/> stdev="0.06"/> stdev="0.43"/> stdev="0.42"/> stdev="0.42"/> stdev="0.12"/> stdev="0.10"/> stdev="0.19"/>

ČVUT v Praze

C

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Testování rozdílů měřených převýšení

C.1

Tabulky s výsledky testování Tab. C.1: Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2008

Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2008 (𝑖) převýšení 0. etapa podzim 08 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.25088 −4.07978 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48313 −12.25107 −4.07907 −1.23177 −1.17169 −6.38800 1.82681 5.09054 15.31774 −0.18671 −1.81713 0.27433 −20.22110

[𝑚𝑚] 0.45 — — −0.06 0.38 0.30 0.60 −0.34 −0.26 1.10 0.98 −1.07 −0.27

[𝑚𝑚] 0.41 — — 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 — — 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme NE — — NE ANO NE ANO NE NE NE ANO ANO NE

Poznámka: Převýšení ℎ1002,513 a ℎ513,552 nejsou v této etapě hodnocena z důvodu změny stabilizace bodu 513, která byla provedena dne 4.5.2009. Základní etapou, vůči které jsou tato dvě převýšení porovnávána, je proto etapa jaro 2009. Všechna ostatní převýšení jsou standardně porovnávána se základní etapou jaro 2008.

50

ČVUT v Praze

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Tab. C.2: Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2009

převýšení

Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2009 (𝑖) 0. etapa jaro 09 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.25088 −4.07978 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48278 −12.26301 −4.06750 −1.23177 −1.17185 −6.38890 1.82666 5.09153 15.31807 −0.18798 −1.81822 0.27546 −20.22117

51

[𝑚𝑚] 0.10 — — −0.06 0.22 −0.60 0.45 0.65 0.07 −0.17 −0.11 0.06 −0.34

[𝑚𝑚] 0.41 — — 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 — — 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme NE — — NE NE NE ANO NE NE NE NE NE NE

ČVUT v Praze

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Tab. C.3: Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2009 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2009 (𝑖) převýšení 0. etapa podzim 09 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.26301 −4.06750 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48268 −12.26454 −4.06623 −1.23267 −1.17001 −6.38670 1.82805 5.08915 15.31804 −0.18736 −1.81807 0.27563 −20.21998

52

[𝑚𝑚] 0.00 −1.53 1.27 −0.96 2.06 1.60 1.84 −1.73 0.04 0.45 0.04 0.23 0.85

[𝑚𝑚] 0.41 0.38 0.17 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 0.75 0.33 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme NE ANO ANO ANO ANO ANO ANO ANO NE NE NE NE ANO

ČVUT v Praze

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Tab. C.4: Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2010

převýšení

Testování rozdílů převýšení etapy jaro 2010 (𝑖) 0. etapa jaro 10 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.26301 −4.06750 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48250 −12.26365 −4.06604 −1.23275 −1.16965 −6.38740 1.82824 5.08795 15.31796 −0.18674 −1.81719 0.27546 −20.21906

53

[𝑚𝑚] −0.18 −0.64 1.46 −1.04 2.42 0.90 2.03 −2.93 −0.04 1.07 0.92 0.06 1.77

[𝑚𝑚] 0.41 0.38 0.17 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 0.75 0.33 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme NE NE ANO ANO ANO NE ANO ANO NE NE ANO NE ANO

ČVUT v Praze

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Tab. C.5: Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2010 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2010 (𝑖) převýšení 0. etapa podzim 10 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.26301 −4.06750 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48179 −12.26439 −4.06596 −1.23257 −1.17053 −6.38700 1.82906 5.08740 15.31876 −0.18790 −1.81797 0.27559 −20.21806

54

[𝑚𝑚] −0.89 −1.38 1.54 −0.86 1.54 1.30 2.85 −3.48 0.76 −0.09 0.14 0.19 2.77

[𝑚𝑚] 0.41 0.38 0.17 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 0.75 0.33 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme ANO ANO ANO ANO ANO ANO ANO ANO NE NE NE NE ANO

ČVUT v Praze

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Tab. C.6: Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2011 Testování rozdílů převýšení etapy podzim 2011 (𝑖) převýšení 0. etapa podzim 11 𝛿𝑗𝑘 𝜎𝛿(𝑖) Δ𝛿𝑗𝑘

𝐻0

𝑗𝑘

1011 → 1002 1002 → 513 513 → 552 552 → 501 501 → 1005 552 → 553 553 → 1012 1012 → 1003 1003 → 1011 1011 → 1001 1001 → 1004 1004 → 1004𝑎 1001 → 1012

[𝑚] 0.48268 −12.26301 −4.06750 −1.23171 −1.17207 −6.38830 1.82621 5.09088 15.31800 −0.18781 −1.81811 0.27540 −20.22083

[𝑚] 0.48149 −12.26426 −4.06496 −1.23373 −1.17080 −6.38789 1.82883 5.08571 15.31895 −0.18819 −1.81785 0.27513 −20.21740

55

[𝑚𝑚] −1.20 −1.25 2.54 −2.01 1.27 0.41 2.62 −5.17 0.95 −0.38 0.26 −0.27 3.43

[𝑚𝑚] 0.41 0.38 0.17 0.08 0.14 0.47 0.08 0.61 0.59 0.59 0.17 0.14 0.27

[𝑚𝑚] 0.80 0.75 0.33 0.17 0.28 0.91 0.17 1.19 1.16 1.16 0.33 0.28 0.53

zamítáme ANO ANO ANO ANO ANO NE ANO ANO NE NE NE NE ANO

ČVUT v Praze

C.2

C. TESTOVÁNÍ ROZDÍLŮ MĚŘENÝCH PŘEVÝŠENÍ

Grafické vizualizování rozdílů převýšení

Poznámky k příloze C.2: ∙ Grafy v této příloze znázorňují vývoj rozdílů převýšení zaměřených v jednotlivých etapách od převýšení zaměřených v základní etapě – jaro 2008. Výjimku tvoří převýšení ℎ1002,513 a ℎ513,552 . Tato dvě převýšení jsou z důvodu změny stabilizace bodu 513 (dne 4.5.2009) vztažena k etapě jaro 2009. ∙ U některých grafů bylo vhodné, s ohledem na velikost vynášených rozdílů, zvolit unikátní měřítko svislé osy. ∙ Průběhy rozdílů převýšení ℎ1003,1011 a ℎ1011,1001 byly zobrazeny do téhož grafu; mezní rozdíl totiž nabývá pro obě převýšení stejné hodnoty. ∙ Nulovou hypotézu 4.2 zamítáme v případě, překročí-li modrá křivka (znázorňující průběh rozdílů převýšení v čase) červeně vymezenou kritickou hodnotu rozdílu.

56

ČVUT v Praze

D D.1

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Testování posunů bodů Tabulky s výsledky testování Tab. D.1: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2008 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2008 (𝑖) bod 0. etapa podzim 08 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10822 −0.88 0.47 0.91 NE 513 88.42054 88.41905 — — — — 552 84.34081 84.33999 −0.82 0.45 0.89 NE 553 77.95286 77.95205 −0.81 0.27 0.53 ANO 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.67009 −1.10 0.48 0.94 ANO 1003 84.87010 84.86928 −0.82 0.51 1.00 NE 1004 98.18189 98.18287 0.98 0.17 0.33 ANO 1004𝑎 98.45729 98.45720 −0.09 0.23 0.44 NE 1005 81.93703 81.93653 −0.50 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18691 −1.33 0.42 0.83 ANO 1012 79.77908 79.77886 −0.22 0.25 0.50 NE

Poznámka: Výška bodu 𝐻513 není v této etapě hodnocena z důvodu změny stabilizace bodu 513, která byla provedena dne 4.5.2009. Základní etapou, vůči které je výška bodu 513 porovnávána, je proto etapa jaro 2009. Všechny ostatní rozdíly vyrovnaných výšek jsou vztaženy k základní etapě jaro 2008.

57

ČVUT v Praze

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Tab. D.2: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2009 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2009 (𝑖) bod 0. etapa jaro 09 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10906 −0.04 0.47 0.91 NE 513 88.42054 88.40831 — — — — 552 84.34081 84.34083 0.02 0.45 0.89 NE 553 77.95286 77.95210 −0.76 0.27 0.53 ANO 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.67120 0.01 0.48 0.94 NE 1003 84.87010 84.87026 0.15 0.51 1.00 NE 1004 98.18189 98.18178 −0.11 0.17 0.33 NE 1004𝑎 98.45729 98.45724 −0.05 0.23 0.44 NE 1005 81.93703 81.93721 0.18 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18829 0.05 0.42 0.83 NE 1012 79.77908 79.77877 −0.32 0.25 0.50 NE

58

ČVUT v Praze

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Tab. D.3: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2009 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2009 (𝑖) bod 0. etapa podzim 09 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10619 −2.92 0.47 0.91 ANO 513 88.40831 88.40510 −3.20 0.47 0.91 ANO 552 84.34081 84.33886 −1.95 0.45 0.89 ANO 553 77.95286 77.95201 −0.85 0.27 0.53 ANO 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.66974 −1.45 0.48 0.94 ANO 1003 84.87010 84.86917 −0.94 0.51 1.00 NE 1004 98.18189 98.18193 0.04 0.17 0.33 NE 1004𝑎 98.45729 98.45756 0.27 0.23 0.44 NE 1005 81.93703 81.93618 −0.86 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18717 −1.07 0.42 0.83 ANO 1012 79.77908 79.78006 0.98 0.25 0.50 ANO

59

ČVUT v Praze

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Tab. D.4: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2010 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy jaro 2010 (𝑖) bod 0. etapa jaro 10 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10718 −1.92 0.47 0.91 ANO 513 88.40831 88.40595 −2.36 0.47 0.91 ANO 552 84.34081 84.33993 −0.88 0.45 0.89 NE 553 77.95286 77.95266 −0.20 0.27 0.53 NE 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.66951 −1.68 0.48 0.94 ANO 1003 84.87010 84.86890 −1.20 0.51 1.00 ANO 1004 98.18189 98.18281 0.92 0.17 0.33 ANO 1004𝑎 98.45729 98.45827 0.98 0.23 0.44 ANO 1005 81.93703 81.93753 0.50 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18691 −1.33 0.42 0.83 ANO 1012 79.77908 79.78091 1.82 0.25 0.50 ANO

60

ČVUT v Praze

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Tab. D.5: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2010 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2010 (𝑖) bod 0. etapa podzim 10 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10715 −1.95 0.47 0.91 ANO 513 88.40831 88.40566 −2.65 0.47 0.91 ANO 552 84.34081 84.33972 −1.09 0.45 0.89 ANO 553 77.95286 77.95284 −0.02 0.27 0.53 NE 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.66997 −1.22 0.48 0.94 ANO 1003 84.87010 84.86931 −0.79 0.51 1.00 NE 1004 98.18189 98.18203 0.14 0.17 0.33 NE 1004𝑎 98.45729 98.45762 0.33 0.23 0.44 NE 1005 81.93703 81.93662 −0.41 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18809 −0.15 0.42 0.83 NE 1012 79.77908 79.78190 2.82 0.25 0.50 ANO

61

ČVUT v Praze

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Tab. D.6: Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2011 Testování rozdílů vyrovnaných výšek etapy podzim 2011 (𝑖) bod 0. etapa podzim 11 𝛿𝐻𝑗 𝜎𝛿𝐻𝑗 Δ𝛿𝐻𝑗 𝐻0 [𝑚] [𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑚𝑚] zamítáme 501 83.10910 83.10750 −1.60 0.47 0.91 ANO 513 88.40831 88.40612 −2.18 0.47 0.91 ANO 552 84.34081 84.34122 0.41 0.45 0.89 NE 553 77.95286 77.95374 0.88 0.27 0.53 ANO 1001 100.00000 100.00000 — — — — 1002 100.67119 100.67012 −1.07 0.48 0.94 ANO 1003 84.87010 84.86884 −1.27 0.51 1.00 ANO 1004 98.18189 98.18216 0.26 0.17 0.33 NE 1004𝑎 98.45729 98.45728 −0.01 0.23 0.44 NE 1005 81.93703 81.93670 −0.33 0.48 0.94 NE 1011 100.18824 100.18832 0.08 0.42 0.83 NE 1012 79.77908 79.78258 3.50 0.25 0.50 ANO

62

ČVUT v Praze

D.2

D. TESTOVÁNÍ POSUNŮ BODŮ

Grafické vizualizování posunů bodů

Poznámky k příloze D.2: ∙ Grafy v této příloze znázorňují časový vývoj rozdílů vyrovnaných výšek bodů z jednotlivých etap od výšek získaných vyrovnáním základní etapy. Kromě bodu 513 jsou všechny rozdíly vztaženy k základní etapě jaro 2008. Rozdíly výšek bodu 513 jsou z důvodu změny stabilizace bodu vztaženy k etapě jaro 2009. ∙ U některých grafů bylo vhodné, s ohledem na velikost vynášených rozdílů, zvolit unikátní měřítko svislé osy. ∙ Nulovou hypotézu 4.9 zamítáme v případě, překročí-li modrá křivka (znázorňující průběh rozdílů vyrovnaných výšek v čase) červeně vymezenou kritickou hodnotu rozdílu.

63

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.