Nem-extenzív effektusok az elemi kvantumstatisztikában?


1 Nm-xtzív tuso az lm vatumstatsztába? Bró Tamás Sádor MTA Wgr FK RMI Boltzma-Gbbs-Plac-Réy-Tsalls 2. Frm &a...
Author:  Dávid Fodor

0 downloads 2 Views 823KB Size

Recommend Documents


Az ismert elemi részecskék legtünékenyebb
1 PATKÓS ANDRÁS Túl a részecskefizikai Standard Modellen Az ismert elemi részecskék legtünékenye...

EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
1 Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍT...

Elemi költségvetés Elemi költségvetés
1 A megye megnevezése, székhelye: Irányító szerv: számjel PIR-törzsszám Szektor Megye PÜK S...

Beiger Anna: Hitelemzések az első elemi osztály számára
1 PPEK 1005 Beiger Anna: Hitelemzések az első elemi osztály számára Beiger Anna Hitelemzések az első elemi oszt&aac...

Az elfogadó iskola koncepcionális kereteinek kidolgozása Elemi projekt száma:
1 Az elfogadó iskola koncepcionális kereteinek kidolgozása Elemi projekt száma: Az adaptív iskola koncepciój...

Egzotikus magneto-optikai effektusok kristályos anyagokban
1 Ph.D. tézisfüzet Egzotikus magneto-optikai effektusok kristályos anyagokban Bordács Sándor Témavezető: Dr. K...

számjel I 20 Fejezet Elemi költségvetés Elemi költségvetés ",V- IST\l41v '1-0 ~ ~ ~ Az irányiló szerv részéről ellenőrizte:
1 . A fejezet megnevezése, székhelye: rányító szerv: számjel PR-törzsszám 1051 Szektor 0 Fejezet...

2016 Elemi költségvetés
1 A fejezet megnevezése, székhelye: Irányító szerv: számjel PIR-törzsszám Szektor Fejezet C&iacu...

A) ELEMI KÖLTSÉGVETÉS
1 A fejezet megnevezése, székhelye: Az irányító szerv: számjel PIR-törzsszám szektor fejezet c&i...

2012 Elemi költségvetés
1 A megye megnevezése, székhelye: Irányító szerv: számjel PIR-törzsszám Szektor Megye PÜK S...



Nem-extenzív effektusok az elemi kvantumstatisztikában? Biró Tamás Sándor MTA Wigner FK RMI 2012.03.26.

1. Boltzmann-Gibbs-Planck-Rényi-Tsallis 2. Fermi & Bose altérben á la Gibbs-Boltzmann 3. NBD mint szuperstatisztika 4. Koherens állapot, Poisson statisztika 5. Átlagfüggő sajátérték (Hartree) esete Wigner Eötvös Önképzőkör: WEÖK

1.Boltzmann-Gibbs-Planck-ShannonRényi-Tsallis-… • S = k log W W nem valószínűség! • Ismétléses permutáció + Stirling formula • • • •

-p log p formula a szumma p = 1 feltétellel A log x általánosítása A W általánosítása Additivitás vs. Non-additivitás

• Termodinamikai hőmérséklet (0. főtétel) • Ha a környezet paraméterei függenek az alrendszer állapotától: nem exponenciális

Ludwig Boltzmann,

𝑺 = 𝒌 𝐥𝐨𝐠 𝑾

Van-e hőmérséklet ?

3

Boltzmann entrópia képlete

S = k log W Ha

akkor

𝑊12 = 𝑊1 ⋅ 𝑊2 𝑆12 = 𝑆1 + 𝑆2 Van-e hőmérséklet ?

4

Boltzmann entrópia képlete • • • •

S = k log W Független permutációk: W = N! Stirling formula: log N! ≈ N log N Ismétléses permutációk: 𝑊=

• Valószínűség:

𝑤𝑖 = Van-e hőmérséklet ?

𝑁! 𝑖 𝑁𝑖 !

𝑁𝑖 lim 𝑁→∞ 𝑁 5

Gibbs levezetése ln W  N ln N  iN i ln N i ln W  N ln N  iNw i ln( Nw i ) ln W  N ln N 1  iw i   N  iw i ln w i  S   k iw i ln w i

míg

w i

i

 1.

Boltzmann-Gibbs Entrópia: Extenzív

1 S BoltzmannGibbs   w i ln wi i 1  ( E   ) w  e Z eq i

i

Additív entrópia  Egyensúlyi eloszlás faktorizálódik  additív energia

e

 E12

e

 E1

e

 E 2

E12  E1  E 2

Fermi & Bose altérben • Részecskék és lukak: Fermi-Dirac • Részecskék többszörösen: Bose-Einstein • A maradék fázisteret betöltjük a maradék kvantumokkal, normálunk: mikrokanonikus • A nagy környezet limitben az átlagérték beállítódik: kanonikus • Hipergeometrikus  Bernoulli  Poisson

Generáló sorok ∞

(𝟏 + 𝒙)𝒌 = 𝒏=𝟎 ∞

(𝟏 − 𝒙)−𝒌−𝟏 = 𝒏=𝟎

𝒌 𝒏 𝒙 𝒏

−𝒌 − 𝟏 (−𝒙)𝒏 = 𝒏



𝒏=𝟎

𝒌+𝒏 𝒏 𝒙 𝒏

Fermi eloszlás alrendszerben

 k  K  k     n  N  n   Pn ,k  K   N

Fermi eloszlás kis alrendszerben k  K,  n  N, ( N  n )!  N! N k   k n K! K  Pn ,k  n ( k  n )  K  N! N ( K  N )! ( K  N )   N

n

Fermi eloszlás kis alrendszerben = Bernoulli eloszlás k

k   K  N   N  Pn ,k        n  K   K  N  k  n k n Pn ,k    f (1  f ) n f N K A hamis érmék története

n

Kevés kvantum kis alrendszerben = Poisson eloszlás

k  k     n  n! n

Pn ,k

 k  

f n 1 f

n!

e

 kf /(1 f )

Halálesetek vagy radioaktív bomlás: ritka és független

Kevés kvantum kis alrendszerben = Poisson eloszlás

f n k  k exp(   ) 1 f 1 1 f    k n 1 e 1 Halálesetek vagy radioaktív bomlás: ritka és független

Bose eloszlás alrendszerben k  n  K  k  N  n     n  Nn   Pn ,k   K  N  1   N   k szint és n gerjesztés tetszőleges keverékei…

Bose eloszlás kis alrendszerben

k  n n  k 1 n Pn ,k    f (1  f )  n  n  (k  1) f

Bose eloszlás kis alrendszerben Poisson limitben k  n n  k 1 n Pn ,k    f (1  f )  n  1  kf   n!  1  f

n

 kf /(1 f )  e 

Bose eloszlás kis alrendszerben Poisson limitben

 kf    n     ke 1 f  1 1 f    k n 1 e 1

Általános szabály az átlagra

• 𝒃𝒆𝒕ö𝒍𝒕é𝒔 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏 =

𝒃𝒆𝒕ö𝒍𝒕é𝒔 (𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊) 𝒍𝒖𝒌 (𝑩𝒆𝒓𝒏𝒐𝒖𝒍𝒍𝒊)

Negatív binomiális (NBD)  k  1 k  n n     ( 1)    n   n    k  1 n  k 1 n Pn . k    ( f ) (1  f )  n 

Fermi – Bose transzformáció: szuperszimmetria Bn ,k (f )  Fn ,  k 1 ( f ) Fn ,k (f )  Bn ,  k 1 ( f ) invariáns k( k  1)

Statisztika véges fázistérben Fermi eloszlás (Bernoulli, Poisson)

Bose eloszlás (NBD, Poisson)

Szuperstatisztika: eloszlások konvolúciója

Van-e hőmérséklet ?

23

NBD mint szuperstatisztika • • • • •

Negatív binomiális eloszlás Euler-Gamma integrál NBD mint konvolúció: Euler * Poisson Tsallis-Pareto = Euler * Boltzmann-Gibbs Mi lehet a kapcsolat?

NBD = Euler ○ Poisson 

N! 0 x e dx  a N1 N

ax

k  n n  k 1 n Pn ,k     f (1  f )  n  n



f kn (1 f ) x x e dx  k! n! 0

NBD = Euler ○ Poisson 

n

k

( x f ) f x x  x Pn ,k   e  e dx n! k! 0 Poisson k-ban, Euler-Gamma x-ben

Sz u p e r s t a t i sz t i k a

Superstatisztika a hatványeloszláshoz w  1  aˆ (E i  ) 

 c ˆ 1  E i  eq  w i  1  Z c  

c

1 c c1 cx xˆ E w   dx  ( c ) x e e Z0 eq i

i

Euler-Gamma

1 / aˆ

eq i

NBD = Euler ○ Poisson Power Law = Euler ○ Gibbs 

n

k

( x f ) f x x  x Pn ,k   e  e dx n! k! 0 

c

1 c c1 cx xˆ E w   dx  ( c ) x e e Z0 eq i

Sz u p e r s t a t i sz t i k a

i

NBD = Euler ○ Poisson Power Law = Euler ○ Gibbs 

n

k

( x f )  f x x x Pn ,k   e  e dx n! k! 0 

1 w  e Z 0 eq i

k q k 1

( k 1)  Ei  x k 1

k

x x  e dx k! Sz u p e r s t a t i sz t i k a

Eloszlás faktorizálódik  Energia nem additív





1 / aˆ 1 w  1  aˆ ˆ E Zˆ eq

1  aˆˆ E 

1 / aˆ

12



 1  aˆ ˆ E1

  1  aˆˆ E  1 / aˆ

E12  E1  E 2  aˆ ˆ E1E 2

1 / aˆ

2

Koherens állapotok • • • • • •

Definíció, Fock-kifejtés Átfedés egymással Kapcsolat az oszcillátorral, integrál Átfedés az n-bozon állapottal: Poisson Fázisátlagolt koherens operátor Tr(AB) A-nak n-bozon állapot, B-nek koherens állapot legyen a sajátállapota

Koherens állapotok • Az eltüntető operátor sajátállapotai (komplex sajátértékkel)

𝒂 𝒛>= 𝒛 𝒛> < 𝒛| 𝒂† 𝒂 | 𝒛 > = 𝒛 𝒛=𝒑+𝒊𝒒 =

𝟐

= 𝒏

𝒏 𝒆𝒊𝝋

𝒅𝟐 𝒛 |𝒛 >< 𝒛| = 𝟏 𝝅

𝒅𝟐 𝒛 𝒅𝒑𝒅𝒒 𝒅𝒏 𝒅𝝋 = = 𝝅 𝟐𝝅 𝟐𝝅

Koherens állapotok • Átfedések (egymással és az n-kvantum állapottal)

𝟐

< 𝒛𝟏 𝒛𝟐 > | = 𝒆

−|𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 |𝟐

𝒏 𝒏 < 𝒛 𝒏 > |𝟐 = 𝒆−𝒏 𝒏!

Koherens állapotok • Kanonikus statisztikus trace n-kvantum sajátállapotú operátorral (Ha normál rendezett a rho operátor)

 

2 d ˆ tr ˆ O    z   ( z )  n | z   z | Oˆ | n 

n



d 2z 

O

n

 ( z)  z | n 

n





0

0

  On  dn  n

2

d 2

n

n n  (n , ) e n!

Koherens állapotok • Kanonikus statisztikus trace n-kvantum sajátállapotú operátorral (Ha normál rendezett a rho operátor)

 

tr ˆ Oˆ   On wn n

wn  

d 2z 

 ( z ) Pn (n ) n

n n Pn (n )  e n!

Poisson n-ben, Euler-Gamman -ban

Koherens állapotok • Kanonikus statisztikus trace n-kvantum sajátállapotú operátorral és skálázó fázisátlagolt Hamiltonnal (Ha normál rendezett a rho operátor)

wn   

d 2z 

 ( z ) Pn (n )

  dn Pn (n ) 0







e

 H ( n , )



  dn Pn (n ) e 0

d 2

Szuperstatisztikus súly!

 n

 1   

( n 1)

Koherens állapotok • Koherens fázisátlag és spektrális felbontás (ha rho-nak n sajátállapota)

 





0

0

tr ˆ Oˆ   dn  2d 

  dn 0



 n

e

  En

n

n n O( n e ) e n! i

n n   En n e O (n ) e n! 

d 2

n

S ( )  dn O (n )  e 0

n

  ( n  n0 )

n

n n e n!

Koherens állapotok • Koherens fázisátlag és spektrális felbontás (ha rho-nak n sajátállapota)





d 2

S ( )  dn O (n )  e

  ( n  n0 )

n

0



d d n O ( n )   2 S ( ) e

 n0

e

n

n n e  n!

(1 e   ) n



0



  dn O (n ) e 0

  En

Csakis kicsi beta hbar omega – ra !!!!

Koherens állapotok • A spektrális felbontás normálása (ha rho-nak n sajátállapota)

tr ˆ    

d 2



d 2

S ( )  dn 0

 n0

e n

  ( n  n0 )

n

n n e n!

  ( n0 1)

e e d S ( )   2 S ( )    1 e e 1

Összegzés • • • •

Hol tartunk? Mik a kérdések? Merre tovább? Mire lesz ez jó?

Tanácsok, megjegyzések • Wehrl entrópia • Általánosított koherens állapot (shift operátorrral) • Klasszikus tér – koherens állapot: p-függés kiintegrálva • P-reprezentáció: q-függés kiintegrálva • Poisson reprezentáció: phi függés kiintegrálva • Hogyan végesíti a kölcsönhatás a fázisteret?

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.