PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1


1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = Bércesé Novák Áges 12 PPKE ITK Algebr &e...

0 downloads 4 Views 157KB Size

Recommend Documents


No documents


PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

DETERMINÁNSOK a11 = a11 a 11 a 21

a 12 = a 11 ⋅ a 22 − a 12 a 21 a 22

a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 a31 a32 a33

© Bércesné Novák Ágnes

1

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

DETERMINÁNSOK Definíció: az n sorba és m oszlopba elrendezett n x m (valós vagy képzetes) számokat tartalmazó táblázatot mátrixnak nevezzük. Definíció (ld. Freud R.: Lineáris algebra): Az n x n –es mátrixhoz számot rendelhetünk. Ha a hozzárendelt szám az alábbiakban ismertetett szabály szerint történik, akkor ezt a számot az n x n- es mátrix determinánsának nevezzük. Ezt a számot a következőképpen képezzük: a mátrix minden sorából és oszlopából pontosan egy elemet választunk, és ezeket összeszorozzuk. Ezt minden lehetséges módon elvégezzük, igy n! db szorzatot kapunk. E szorzatokat + vagy – előjellel látjuk el aszerint, hogy a sorindexek természetes sorrendjét követő felírásban az oszlopindexek permutációja páros, vagy páratlan. Az előjellel ellátott szorzatokat összegezve kapjuk a determináns értékét. Képletben: det(A):= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) a3σ ( 3) .....anσ ( n ) Az alábbi bizonyításoknál feltesszük, hogy a determináns elemei valós számok.

© Bércesné Novák Ágnes

2

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns definíciója képletben: det(A)= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) a3σ ( 3) .....anσ ( n ) A jelenti az n x n-es mátrixot, det(A) a hozzárendelt számot, I(σ) jelenti a σ permutációban szereplő inverziók számát, σ(1), σ(2), σ(3)… σ(n) az 1, 2, 3, …n számok egy permutációját. Például: σ: 1, 3, 2, 5, 4, 6;

© Bércesné Novák Ágnes

σ(1)=1, σ(2)=3, σ(3)=2, σ(4)=5, σ(5)=4, σ(6)=6

3

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Megjegyzések: a.) Szokás a determináns értékéről beszélni. Ekkor magát a hozzárendelést értjük a determináns szó alatt, és mint a függvénynek is van függvényértéke, úgy a determinánsnak is beszélhetünk (függvény)értékéről. b.)

Egy permutáció páros/páratlan, ha az inverziók száma páros/páratlan.

c.) Lemma: Két elem cseréjével a permutációk száma párosról páratlanra, páratlanról párosra változik.

Biz.: Szomszédos elemek cseréjekor ez nyilvánvaló. Két tetszőleges elem, x,y cseréjekor, ha k elem állt köztük, k db szomszédos elem cserével y az x jobboldali szomszédja, 1 db cserével y az x helyére kerül, majd az x k db szomszédos elem cserével y helyére vihető. Ez összesen 2k+1 db szomszédos elem cseréje. Mivel minden alkalommal a páros permutációból páratlan, a páratlanból páros keletkezik, ezért az eredményül kapott sorrendben a permutáció paritása megváltozik.

© Bércesné Novák Ágnes

4

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Lemma:

∑ ( −1)

I (σ )

a1σ (1) a2σ ( 2 ) a3σ ( 3) .....anσ ( n ) =

I (σ ') + I (π ) ( − 1) aσ '(1)π (1) aσ '(2)π (2) aσ '(3)π (3) .....aσ '( n )π ( n ) ∑

Bizonyítás: Az első sorrendből elemcserékkel bármilyen más sorrend előállítható. Így a tényezők ugyanazok. Mivel két elem cseréjével mindkét indexben az inverziók száma páratlan számmal változik, az I (σ ') + I (π ) szám paritása ugyanaz, mint az I (σ ) számé, így az előjel is ugyanaz lesz. Tehát a determináns e második, sorok oszlopok szempontjából szimmetrikus formulával is definiálható.

© Bércesné Novák Ágnes

5

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns tulajdonságai 1. A determináns értéke nem változik, ha a főátlóra tükrözzük az elemeit. Következmény : A sorokra kimondott tételek oszlopokra is igazak. 2. Ha a determináns főátlója fölött (alatt) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata. 3. Ha a determináns egy sora (egy sorának minden eleme) 0, akkor értéke is 0. 4. Ha a determináns egy sorát egy valós számmal megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz. 5. Ha a determináns két sorát felcseréljük, az értéke ( –1)-szeresére változik. 6. Ha a determináns két sora egyenlő, akkor a determináns értéke 0.

© Bércesné Novák Ágnes

6

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

7. Ha a determináns k. sora kéttagú összegekből áll, akkor a determinánst két determináns összegeként kaphatjuk. Az egyik determináns k. sora az eredeti k. sorában álló összegekből az első tagokat, a másik az eredeti determináns k. sorában álló összegekből a második tagokat tartalmazza. 8. A determináns értéke nem változik, ha egyik sorához hozzáadjuk valamely másik sor számszorosát.

© Bércesné Novák Ágnes

7

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

9. Kifejtési tétel: a determináns értékét kapjuk, ha valamely sorának elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjeles aldeterminánsokkal, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. Ezt a determináns a i. sor szerinti kifejtésének nevezzük. Az aik elemhez tartozó Aik minormátrix az eredeti A mátrix i. sorának és k. oszlopának elhagyásával keletkezik. Az Aik minormátrixhoz tartozó determinánst az aik elem aldeterminánsának nevezzük. Ezt előjellel látjuk el, (-1)i+k. Az aldetermináns jele Dik. A kifejtési tétel képletben: az i. sor szerinti kifejtés: n n i+k det( A) = ∑ ( −1) aik det( Aik ) = ∑ aik Dik k =1 k =1 A k. oszlop szerinti kifejtés hasonlóan: Tehát Dik= (-1)i+k det(Aik). n

det( A) = ∑ (−1)

i+k

i =1

n

aik det( Aik ) = ∑ aik Dik i =1

10. Ferde kifejtés n

0 = ∑ (−1) k =1

© Bércesné Novák Ágnes

i+k

n

aik det( A jk ) = ∑ aik D jk k =1

8

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A determináns tulajdonságai 1. A determináns értéke nem változik, ha a főátlóra tükrözzük az elemeit. Következmény : A sorokra kimondott tételek oszlopokra is igazak.

Bizonyítás: det(A):= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) a3σ ( 3) .....anσ ( n ) A főátlóra tükrözött mátrix determinánsa: det(A*):=

I (σ ) + I (π ) I (σ ) + I (π ) ( − 1) a a a ..... a = ( − 1) aσ (1)π (1) aσ (2)π (2) aσ (3)π (3) .....aσ ( n )π ( n ) ∑ ∑ σ (1)1 σ (2)2 σ (3)3 σ (n)n

Miben különböznek a szorzatok? Csak az indexek változtak, de az egyes tényezők értékei változatlanok! A determináns sor/oszopra szimmetrikus definíciójából az előjelek azonossága adódik.

© Bércesné Novák Ágnes

9

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

2. Ha a determináns főátlója fölött (alatt) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata.

Bizonyítás: minden sorból és oszlopból kell mindegyik szorzatban szerepelnie egy-egy elemnek. Csak akkor lesz a szorzat 0-tól különböző, ha az első sorból az első elemet választjuk. De akkor a második sorból csak a22 választható (ha nem ezt az elemet választjuk a szorzat 0), és így tovább: 0 a 11 a a 21 22 .. a

.. a

n1

a

n2

0

0

0

0

..

0

© Bércesné Novák Ágnes

= a11a22 ...ann

nn

10

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

2. Ha a determináns egy sora (egy sorának minden eleme) 0, akkor értéke is 0.

Bizonyítás: Tfh. hogy a k. sor minden eleme 0. Az alábbi definícióban mely elem lesz 0? det(A):= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) ........akσ ( k ) .....anσ ( n )

a a 11 12 a a 21 22 0 0 a

n1

a

n2

... ..

a 1n a 2n = 0 0

..

a

....

© Bércesné Novák Ágnes

nn

11

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha a determináns egy sorát egy valós számmal megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz.

Bizonyítás: Tfh. hogy a k. sort szorozzuk a λ valós számmal. Ekkor det(A):= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) ........akσ ( k ) .....anσ ( n ) , és a beszorzott sorral det(Aλ)= ∑ ( −1) I ( σ) a 1σ(1) a 2 σ( 2) ........(λa kσ( k ) ).....a nσ( n ) = λ(∑ ( −1) I ( σ) a 1σ(1) a 2σ( 2 ) ........a kσ( k ) .....a nσ( n ) ) = λ det(A)

Megjegyzés: Az előző tétel ennek speciális esete λ=0-ra.

© Bércesné Novák Ágnes

12

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha a determináns két sorát felcseréljük, az értéke ( –1)-szeresére változik. Bizonyítás: det(A):= ∑ ( −1) I (σ ) a1σ (1) a2σ ( 2 ) ........aiσ ( i ) ......akσ ( k ) .....anσ ( n ) Cseréljük fel az i. sort a k. sorral: det(A’):= ∑ ( −1) I (σ ' ) a1σ ' (1) a2σ ' ( 2 ) ........akσ ' ( k ) ......aiσ ' ( i ) .....anσ ' ( n ) A tagok ugyanazok, de a szorzatokban a sorindexek szerinti elrendezésben az oszlopok σ permutációja σ’ lett. Mi a különbség σ és σ’ között? Két elem cseréjével miként változik az inverziók száma? Az azonos szorzatok előjeléről mit tudunk tehát?

© Bércesné Novák Ágnes

13

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Mi a különbség σ és σ’ között? Minden szorzatban az i. és a k. tényező felcserélődött. Ezért az oszlopindexek sorrendjében is e két elem fel van cserélve.

Két elem cseréjével miként változik az inverziók száma? Páros számúról páratlan számúra, illetve páratlan számúról páros számúra változik az inverziók száma.

Az azonos szorzatok előjeléről mit tudunk tehát? A szorzatok előjelét az inverzók száma határozza meg, a páros permutációkat + a pártalanokat – előjellel vesszük. Ezek szerint tehát minden egyes szorzat előjele (–1)szeresére változik, de a szorzat abszolút értéke változatlan marad, hiszen két tényező felcserélése a szorzat értékét nem változtatja meg. Ez azt jelenti, hogy a determináns értéke (-1)szeresére változik.

© Bércesné Novák Ágnes

14

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

6. Ha a determináns két sora egyenlő, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás: Legyen det(A)=D. Cseréljük fel az A mátrix két egyenlő sorát. Változik-e az A mátrix? Változhat-e a hozzá tartozó determináns értéke? De az előző tétel miatt a sorcserével (-1) – szeresére kell a determináns értékének változnia, vagyis D= - D. Hogyan lehetséges ez?

© Bércesné Novák Ágnes

15

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Változik-e az A mátrix? Nem, hiszen azonos sorokat cseréltünk.

Változhat-e a hozzá tartozó determináns értéke? Nem, mert elemei nem változtak.

De az előző tétel miatt a sorcserével (-1) – szeresére kell a determináns értékének változnia, vagyis D= - D. Hogyan lehetséges ez? Csakis úgy, hogy a determináns értéke 0.

© Bércesné Novák Ágnes

16

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

7. Ha a determináns k. sora kéttagú összegekből áll, akkor a determinánst két determináns összegeként kaphatjuk. Az egyik determináns k. sora az eredeti k. sorában álló összegekből az első tagokat, a másik az eredeti determináns k. sorában álló összegekből a második tagokat tartalmazza.

Bizonyítás: Legyen a k. sor az, amelyik a kéttagú összeget tartalmazza. az összegzés tulajdonságai miatt: det( A ) = ∑ ∑

( − 1 ) I ( σ ) a 1σ

( − 1 ) I ( σ ) a 1σ

(1 ) a 2 σ ( 2 )

( 1 ) a 2 σ ( 2 ) ........

... a a 11 12 a a .... 21 22 b +c b +c .. 1 1 2 2 .. a a n1 n2 © Bércesné Novák Ágnes

bkσ

........(

(k )

a 1n a 2n b +c n n a nn

bkσ

..... a n σ

(k )

(n)

+ c kσ

+ ∑

(k )

)..... a n σ

( − 1 ) I ( σ ) a 1σ

a a ... 11 12 a a .... 22 = 21 b b .. 1 2 a a .. n1 n2

(n)

=

( 1 ) a 2 σ ( 2 ) ........

c kσ

a a a ... 1n 11 12 a a a .... 22 2n + 21 b c c .. n 1 2 a a a .. nn n1 n2

( k ) .....

a 1n a 2n c n a nn 17

a nσ

(n)

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

8. A determináns értéke nem változik, ha egyik sorához hozzáadjuk valamely másik sor számszorosát. (alább az i.sorhoz adjuk a k.sor λ-szorosát) a11

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

a 21

a 22

...

a2n

a 21

a 22

...

a2n

a 21

a 22

...

a2n

a 21

a 22

...

a2n

a k1

ak 2

...

a kn

= a k1

ak 2

...

a kn + a k1

ak 2

...

a kn = det( A) + λ a k1

ak 2

...

a kn =

a l 1 + λa k 1 a n1

al 2 + λa k 2 an 2

a l1 a n1

al 2 an2

λa k 1 λa k 2

λa kn

a n1

a nn

ak 2 an2

det( A) =

a ln + λa kn a nn

aln a nn

an2

a k1 a n1

= det( A) + 0

© Bércesné Novák Ágnes

18

a kn a nn

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

9. Kifejtési tétel: a determináns értékét kapjuk, ha valamely sorának elemeit megszorozzuk a hozzájuk tartozó előjeles aldeterminánsokkal, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. Ezt a determináns a i. sor szerinti kifejtésének nevezzük. Az aik elemhez tartozó Aik minormátrix az eredeti A mátrix i. sorának és k. oszlopának elhagyásával keletkezik. Az Aik minormátrixhoz tartozó determinánst az aik elem aldeterminánsának nevezzük. Ezt előjellel látjuk el, (-1)i+k. Az aldetermináns jele Dik. A kifejtési tétel képletben: az i. sor szerinti kifejtés: n n i+k det( A) = ∑ ( −1) aik det( Aik ) = ∑ aik Dik k =1 k =1 A k. oszlop szerinti kifejtés hasonlóan: Tehát Dik= (-1)i+k det(Aik). n

det( A) = ∑ (−1)

i+k

i =1

n

aik det( Aik ) = ∑ aik Dik i =1

10. Ferde kifejtés n

0 = ∑ (−1) k =1

© Bércesné Novák Ágnes

i+k

n

aik det( A jk ) = ∑ aik D jk k =1

19

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

A kifejtési tétel bizonyítása: a.) Első sora az első elem kivételével 0: a 11

0

... 0

0

a 21

a 22

...

a 2n

a 22

...

a 2n

a k1 a l1

a k2 a l2

...

a kn = a 11 a ln

a k2 a l2

...

a kn = a 11 D 11 a ln

a n1

a n2

a nn

a n2

...

a nn

b.) Ha az i.sor a k. elem kivételével nem nulla, akkor hány szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihető az i. sor az első sor helyére, és a k. elem a11 helyére? Pl. a 2. sor első eleme nem nulla, a többi nulla, hogyan számítható ki a determináns értéke?

© Bércesné Novák Ágnes

20

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

b.) Ha az i.sor a k. elem kivételével nem nulla, akkor hány szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihető az i. sor az első sor helyére, és a k. elem a11 helyére? Pl. a 2. sor első eleme nem nulla, a többi nulla, hogyan számítható ki a determináns értéke? Az aik elemet k-1 darab szomszédos oszlopcserével és i-1 darab szomszédos sorcserével vihető a11 helyére, így az előző eset áll fenn. (Nem egyszerűen felcseréljük az 1. és i.sort, mert akkor nem az aldeterminánst kapnánk!!!) a11 a21

a12 a22

... ...

0 al1

0 al 2

aik

an1

an 2

an1 a2 n

a11

a 0 = (−1)i + k aik (i −1)1 a(i +1)1 aln an1 ann

© Bércesné Novák Ágnes

..a1( k −1)

a1( k + )1

a(i −1)2 a(i +1)2

...

an 2

a1n a(i −1) n = aik Dik a(i +1) n ann

21

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

c.) Ha nincsen olyan sor, amelynek elemei egy elem kivételével nullák, akkor bármelyik sor felírható mint az eredeti elem és n -1 db nulla öszege. A determináns pedig felbontható n db olyan determináns összegére, amelyben van egy elem kivételével csupa nulla sor.

=

a11

a12

...

a21

a22

...

ai1 al1

ai 2 al 2

an1

an 2

a11

a12

...

a21

a22

...

ai1

0

al1

al 2

an1

an 2

an1 a2 n ...

aik

ain aln

=

... 0

a2 n ... 0

+

a12

...

a21

a22

...

an1

a2 n ...

a12

...

a21

a22

...

ai 2

aln

al1

al 2

ann

an1

an 2

0 + ... + 0 + ain aln

an 2

a11

0

© Bércesné Novák Ágnes

an1

ai1 + 0 + .. + 0 0 + ai 2 + 0 + .. + 0 0 + 0 + .. + aik + 0 + ... + 0 al1 al 2

ann

an1

a11

0 ...

an1 a2 n ... 0

+ .. +

ann

a11

a12

...

a21

a22

...

an1 a2 n ... 0

a12

...

an1

a21

a22

...

0

0..

0 ... ain

a2 n ...

0

0..

aln

al1

al 2

aln

al1

al 2

aln

ann

an1

an 2

ann

an1

an 2

ann

aik

....

+ .. +

a11

22

=

PPKE ITK

=

Algebra és diszkrét matematika

a11

a12

...

a21

a22

...

ai1 al1

ai 2 al 2

an1

an 2

a11

a12

...

a21

a22

...

ai1

0

al1

al 2

an1

an 2

n

= ∑ ( −1) k =1

an1 a2 n ...

aik

ain aln

=

... 0

i+k

a2 n ... 0

+

a12

...

a21

a22

...

an1 a2 n ...

ai1 + 0 + .. + 0 0 + ai 2 + 0 + .. + 0 0 + 0 + .. + aik + 0 + ... + 0 al1 al 2

ann an1

a11

an1

an 2

a11

a12

...

a21

a22

...

0

ai 2

aln

al1

al 2

ann

an1

an 2

0 + ... + 0 + ain aln

0 ...

an1 a2 n ... 0

+ .. +

ann a11

a12

...

a21

a22

...

an1 a2 n ... 0

a12

...

an1

a21

a22

...

0

0..

0 ... ain

a2 n ...

0

0..

aln

al1

al 2

aln

al1

al 2

aln

ann

an1

an 2

ann

an1

an 2

ann

aik

....

+ .. +

a11

n

aik det( Aik ) = ∑ aik Dik

© Bércesné Novák Ágnes

k =1

23

=

=

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

“Ferde” kifejtés Ha a determináns kifejtésére vonatkozó képletben az aik sor elemei helyett pl. az alk sor elemeit szorozzuk meg rendre a Dik aldeterminánsokkal, akkor az így kapott szám nulla. Helyes kifejtés: det(A)= a11D11+a12D12+…+a1nD1n Ferde kifejtés: 0= a21D11+a22D12+…+a2nD1n

Bizonyítás(Hf. ált.):

a11 a12 ... a13 a a21 a22 .. a23 = a11 22 a32 a31 a32 .. a33 a11 a12 ... a13 a 22 a 21 a 22 .. a 23 = a 21 a 32 a 31 a 32 .. a 33

© Bércesné Novák Ágnes

a23 a33

a 23 a 33

− a12

a21 a23 a31

− a 22

a33

+ a13

a 21

a 23

a 31

a 33

a21 a22 a31

+ a 23

a32

a 21

a 22

a 31

a 32

24

PPKE ITK

Algebra és diszkrét matematika

Ha az egyenlőség jobb oldalán álló kifejezésből indulunk ki, az ott álló elemeket a következő, két egyenlő sorral, tehát 0 értékkel rendelkező determinánsba lehet elrendezni:

a 21 a 21 a 31

a 22 ... a 22 .. a 32 ..

a 23 a 23 = 0 a 33

a11 a12 ... a13 a a 21 a 22 .. a 23 = a 21 22 a 32 a 31 a 32 .. a 33

© Bércesné Novák Ágnes

a 23 a 33

− a 22

a 21

a 23

a 31

a 33

+ a 23

a 21

a 22

a 31

a 32

25

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2019 TIXPDF.COM - All rights reserved.